ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 531307 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус \log _2, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка конец дроби плюс 1630 минус 3x минус левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем числитель:

$логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 плюс 16= логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 8 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 16= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате .$ $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 плюс 16=$
$= логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 8 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 16= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате .$ $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 плюс 16=$
$= логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 8 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 16=$
$= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате .$

Преобразуем знаменатель:

$30 минус 3x минус левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате =18 плюс 12 минус 3x минус левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате = минус левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 18.$ $30 минус 3x минус левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате =18 плюс 12 минус 3x минус левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате =$
$= минус левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 18.$

Пусть $t=x минус 4,$ тогда имеем:

$дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: минус t в квадрате минус 3t плюс 18 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус логарифм по основанию 2 16 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 6 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 \undersett больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус логарифм по основанию 2 16 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 3 конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше 3,t=16. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: минус t в квадрате минус 3t плюс 18 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус логарифм по основанию 2 16 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 6 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 \undersett больше 0\mathop равносильно$
$\undersett больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 t минус логарифм по основанию 2 16 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 3 конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше 3,t=16. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 0 меньше x минус 4 меньше 3,x минус 4=16. конец совокупности . равносильно совокупность выражений 4 меньше x меньше 7,x=20. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 4;7 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 20 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь