В тре­уголь­ни­ке ABC, AB  =  15, BC  =  7, CA  =  9. Точка D лежит на пря­мой BC при­чем BD : DC  =  5 : 7. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в каж­дый из тре­уголь­ни­ков ADC и ADB ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — ост­ро­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — ост­ро­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 114, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не BC. Из­вест­но, что BC = 19. Най­ди­те сто­ро­ну AB.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  25, AC  =  7 и BC  =  24. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD  — точка O, при­чем CD  =  8 и AO  =  3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 13, вы­со­та, про­ведённая к сто­ро­не BC, равна 5. Най­ди­те длину той хорды AM опи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рая де­лит­ся по­по­лам сто­ро­ной BC.

Точки D и E  — ос­но­ва­ния высот не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённых из вер­шин A и C со­от­ветс­вен­но. Из­вест­но, что BC = a и AB = b. Най­ди­те сто­ро­ну AC, если из­вест­но, что: а) тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный, б) угол B тупой.

В тре­уголь­ни­ке ABC, AB  =  7, BC  =  9, CA  =  4. Точка D лежит на пря­мой BC при­чем BD : DC  =  1 : 5. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ADC и ADB ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит вер­ши­на C, на дру­гой  — ос­но­ва­ние AB рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что AB  =  10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны: AB  =  7, BC  =  8, AC  =  9. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые BA и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны: AB  =  5, BC  =  6, AC  =  7. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 6, а от­но­ше­ние бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к его ос­но­ва­нию равно 

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 12, а ко­си­нус остро­го угла равен

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 14, а от­но­ше­ние ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равно

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 40, а от­но­ше­ние ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равно

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 20, 14 и 15 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 40, 29 и 30 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  15 и BC  =  8. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 17. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  5 и BC  =  12. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 115, 115 и 184. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 26, 26 и 20. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

Точка O  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF со сто­ро­ной 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BOD, DOF и BOF.

Точка О  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, в ко­то­ром AC  =  10,5. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков AOB, COD и EOF.

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC  =  4, AF  =  2, ∠BAC  =  60°.

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC  =  6, AF  =  3, угол BAC равен 45°.

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D  — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC  =  1 : 3. Най­ди­те угол A.

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D  — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC  =  2 : 3. Най­ди­те угол A.

Внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух дру­гих его сто­рон. Ра­ди­у­сы двух внев­пи­сан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 7 и 17. Най­ди­те рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми.

Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 26 и 14,5, а его вы­со­та BD равна 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Сто­ро­ны KM и MN тре­уголь­ни­ка KMN равны со­от­вет­ствен­но 30 и 25, а его вы­со­та MH равна 24. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KMH и MNH.

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, опу­щен­ная на ос­но­ва­ние, равна 9, а ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен 4. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух его сто­рон.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  15, AC  =  9 и BC  =  12. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD  — точка O, при­чем CD  =  4 и AO  =  3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны 6 и 8 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 25. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BMC.

На сто­ро­не BA угла ABC, рав­но­го 30°, взята такая точка D, что AD  =  2 и BD  =  1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A и D и ка­са­ю­щей­ся пря­мой BC.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник АВС, пло­щадь ко­то­ро­го равна 66, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не ВС. Из­вест­но, что ВС = 11. Най­ди­те сто­ро­ну АВ.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся сто­рон KL, LM и MK в точ­ках A, B и C со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BL : BM, если из­вест­но, что KC : CM  =  3 : 2 и

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CA в точ­ках K, M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AK : KB, если из­вест­но, что AN : NC  =  4 : 3 и

Из се­ре­ди­ны ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на его ги­по­те­ну­зу опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр, длина ко­то­ро­го равна 1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если длина од­но­го из его ка­те­тов равна 4.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон BA и BC в точ­ках E и F.

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BEF, лежит на окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей, если AB  =  BC, BE  =  13, EF  =  10.

В тре­уголь­ни­ке ABC BD  — диа­метр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Про­дол­же­ние вы­со­ты BH пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DL, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен

Точка I  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Луч BI пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке N . Из­вест­но, что угол ABC равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что N  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AIC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что IN  =  1.

В тре­уголь­ни­ке АВС точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Пря­мая BD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой АО, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке D, а опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка АВС окруж­ность  — в точке Т.

а)  До­ка­жи­те, что АС  — бис­сек­три­са угла ТСВ.

б)  Най­ди­те CD, если АВ  =  84, АС  =  98.

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы АВ в точке М, а ка­те­та АС   — в точке N, AC < BC. Пря­мые MN и СО пе­ре­се­ка­ют­ся в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что угол CKN в два раза мень­ше угла АВС.

б)  Най­ди­те ВК, если

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­ро­не ВС вы­бра­на точка М, при­чем Пря­мая АМ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС в точке N, от­лич­ной от А. Из­вест­но, что

а)  До­ка­зать, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AN.