Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 501438

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Решение.

Пусть CH — высота треугольника ABC, r и Q — радиус и центр вписанной окружности, CH = 12, AH = 5, поэтому AC = 13. Найдем площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC:

S= дробь, числитель — CH умножить на AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 12 умножить на 10, знаменатель — 2 =60,p= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка AC плюс AB плюс CB правая круглая скобка =AC плюс AH=18.

Тогда r= дробь, числитель — S, знаменатель — p = дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 . Кроме того, по теореме Пифагора

AQ= корень из { AH в степени 2 плюс QH в степени 2 }= корень из { 25 плюс дробь, числитель — 100, знаменатель — 9 }= дробь, числитель — 5 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

Пусть окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен 6, поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой AB обозначим M.

Пусть точки B и M лежат по разные стороны от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и AQ — биссектрисы смежных углов ∠MAC и ∠CAB соответственно. Значит, ∠OAQ = 90°, и ∠MOA = ∠QAH, поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и AHQ подобны с коэффициентом  дробь, числитель — OM, знаменатель — AH = дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 . Поэтому

OQ= корень из { OA в степени 2 плюс AQ в степени 2 }= корень из { левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 AQ правая круглая скобка в степени 2 плюс AQ в степени 2 }=AQ корень из { дробь, числитель — 36, знаменатель — 25 плюс 1}= дробь, числитель — корень из { 61}, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 5 корень из { 13}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 793}, знаменатель — 3 .

Пусть точки B и M лежат по одну сторону от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи AO и AQ совпадают и являются биссектрисой угла MAC. Значит, прямоугольные треугольники AOM и AQH подобны с коэффициентом  дробь, числитель — OM, знаменатель — QH =\dfrac{6}{\phantom{x}\dfrac{10}{3}\phantom{x}}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 . Тогда

OQ=AO минус AQ= дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 AQ минус AQ= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 AQ= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 5 корень из { 13}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 4 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

 

Ответ:  дробь, числитель — корень из { 793}, знаменатель — 3 , дробь, числитель — 4 корень из { 13}, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 501438: 485970 501458 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Подобие
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Тимур Сибгатуллин 31.08.2014 15:21

Расстояние между двумя окружностями является сумма их радиусов. (Даже на рисунке видно).

Радиус окружности,ка­са­ющий­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равен 6 .

А радиус окружности,вписанной в равнобедренный треугольник равен 10/3.

Т. е. для того,чтобы найти расстояние нужно просто сложить эти два радиуса.

Следовательно,6+10/3=28/3

Почему ответ другой?

Константин Лавров

Потому, что, очевидно, AC хоть и является общей касательной для этих окружностей, но касаются они ее в различных точках, а то, о чем говорите вы и, что "на рисунке видно", лишь иллюзия вызванная фантазией и не совсем удачным рисунком.