Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 513716
i

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CA в точ­ках K, M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AN= дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AK : KB, если из­вест­но, что AN : NC  =  4 : 3 и \angle BAC=60 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­рез­ки AK и AN, BK и BM, CN и CM по­пар­но равны, так как это от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки (см. рис.). Тогда:

2AN плюс 2BM плюс 2CM=P рав­но­силь­но 2AN=P минус 2 левая круг­лая скоб­ка BM плюс CM пра­вая круг­лая скоб­ка =P минус 2BC,

от­ку­да AN= дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По­ло­жим AN  =  4, BK  =  x, тогда AK  =  4, CN  =  CM  =  3, BM  =  x.

Со­глас­но тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем:

BC в квад­ра­те =AC в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те минус 2 умно­жить на AC умно­жить на AB умно­жить на ко­си­нус A,

левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =7 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 7 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да x  =   дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , BK  =   дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Таким об­ра­зом, AK : KB  =  5 : 7.

 

Ответ: б) 5 : 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
Не до­ка­за­но утвер­жде­ния пунк­та а), но обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) без ис­поль­зо­ва­ния утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (опис­ки)

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б), но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ван­но, либо обос­но­ва­ния со­дер­жат не­точ­но­сти.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при не­вер­ном до­ка­за­тель­стве утвер­жде­ния пунк­та а) и обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) без ис­поль­зо­ва­ния утвер­жде­ния пунк­та а) по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (опис­ки)

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен или вы­пол­нен не­вер­но

ИЛИ

по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б), но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ван­но, либо обос­но­ва­ния со­дер­жат не­точ­но­сти

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513686: 513716 Все

Источник: Проб­ный ЕГЭ по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Пе­тер­бург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025