Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507494

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из { AC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 13 в степени 2 минус 12 в степени 2 }=5.

Тогда

S_{\Delta ABC}=AH умножить на HC=5 умножить на 12=60,

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=18r_1.

Из равенства 18r1 = 60 находим, что r_1= дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 .

 

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

BH= корень из { BC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 13 в степени 2 минус 12 в степени 2 }=5,AH=13 минус 5=8.

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

AC= корень из { CH в степени 2 плюс AH в степени 2 }= корень из { 12 в степени 2 плюс 8 в степени 2 }=4 корень из { 13}.

Тогда

r= дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p = дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на CH, знаменатель — { дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс CA)}= дробь, числитель — 13 умножить на 6, знаменатель — дробь, числитель — 1 {2, знаменатель — ( 26 плюс 4 корень из { 13})}= дробь, числитель — 13 умножить на 6, знаменатель — 13 плюс 2 корень из { 13 }= дробь, числитель — 26 минус 4 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 26 минус 4 корень из { 13}, знаменатель — 3 или  дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник