Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BA и BC в точках E и F.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник BEF, лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC.
б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если AB = BC, BE = 13, EF = 10.
а) Проведем биссектрису угла BEF. Пусть она пересекает окружность точке K. Тогда углы KFE и KEB равны как углы между касательной и хордой. Далее, BE = BF, следовательно, углы BEF и BFE равны, значит, FK — биссектриса угла BFE, откуда точка K — центр вписанной окружности треугольника BEF.
б) Расстояние между центром окружностей равно радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC. Пусть BD пересекает EF в точке M. BE = 13, EM = 5. Таким образом, по теореме Пифагора BM = 12. Треугольники EOM и BEM подобны, поэтому 
Ответ: б) 