На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.
Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E — точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рис. а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же чторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° находим, что 
Так как OA = R и AP = 1, получаем: 
следовательно, 
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:
В результате получаем уравнение:
Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка P (см. рис.).
Ответ: 1 или 7.
Здесь возможно другое решение.
По теореме о касательной и секущей
, и 
Из прямоугольного треугольника BPE:
Тогда
В прямоугольном треугольнике OQE катет OQ является искомым радиусом окружности, а угол QOE равен углу ABC (лучи взаимно перпендикулярны) и составляет 30°. Тогда
При поиске радиуса малой окружности аналогично BQ оказывается равным
, 
а радиус окружности равен 