Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник ABC,   — ги­по­те­ну­за, За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии,  — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC. Пусть О  — её центр, а D и Е  — точки ка­са­ния с ка­те­та­ми АС и ВС со­от­вет­ствен­но. Тогда, так как ODCE  — квад­рат, ра­ди­ус этой окруж­но­сти

Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ANM по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC. В нём

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим: x  =  8.

Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник NBM по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC. В нём У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим: x  =  9.

Ответ: 8 или 9.