Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507498

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай. AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из { AC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 5 в степени 2 минус 4 в степени 2 }=3.

Тогда

S_{\Delta ABC}=AH умножить на HC=3 умножить на 4=12,

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=8r_1.

Из равенства 8r1 = 12 находим, что r_1= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

 

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

BH= корень из { BC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 5 в степени 2 минус 4 в степени 2 }=3,AH=5 минус 3=2.

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

AC= корень из { CH в степени 2 плюс AH в степени 2 }= корень из { 4 в степени 2 плюс 2 в степени 2 }=2 корень из { 5}.

Тогда

r= дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p = дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на CH, знаменатель — { дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс CA)}= дробь, числитель — 5 умножить на 2, знаменатель — дробь, числитель — 1 {2, знаменатель — ( 10 плюс 2 корень из { 5})}= дробь, числитель — 5 минус корень из { 5}, знаменатель — 2 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 5 минус корень из { 5}, знаменатель — 2 или  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник