Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABС равен 120°, а основание AC = 10,5, значит,
Треугольники AOB, COD, и EOF — равносторонние со стороной 
поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Пусть ОK, ОL и ОM — диаметры описанных окружностей треугольников AOB, СOD и EOF соответственно, OK = OL = OM = 7. Окружность S с центром O, проходящая через точки K, L и M, касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника CОD и внешним образом — описанных окружностей треугольников AOB и EОF. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника AOB на прямую OL. Тогда
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
По теореме Пифагора 
или
откуда находим x = 3.
Ответ: 7; 3.