Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 484614

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Решение.

Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание BC, O — центр вписанной окружности, P — точка ее касания с боковой стороной AB.

Тогда

AO=AP минус OP=9 минус 4=5.

Обозначим ∠BAD = α. Из прямоугольного треугольника находим, что

 синус \alpha = дробь, числитель — OP, знаменатель — OA = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 .

Тогда  косинус \alpha = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , \operatorname{ тангенс }\alpha= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 , AP=AO косинус \alpha=5 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 =3, BP=BD=AD умножить на \operatorname{ тангенс }\alpha =9 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 =12.

Пусть окружность с центром O1 и радиусом r1 касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC. Тогда D — точка касания, поэтому

BF=BD=12,AF=AP плюс PB плюс BF=3 плюс 12 плюс 12=27.

Следовательно, r_1=O_1F=AF\operatorname{ тангенс }\alpha =27 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 =36.

 

Пусть теперь окружность с центром O2 радиуса r2 касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO2 и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, ∠DAO2 = 90°. Тогда ADQO2 — прямоугольник. Следовательно, r2 = O2Q = AD = 9. Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 9.

 

Ответ: 9 или 36.


Аналоги к заданию № 484614: 511303 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Гость 28.07.2013 01:45

Кажется, автор задачи погорячился с решением первого случая. Составление пропорции из подобия треугольников AOZ (OZ — перпендикуляр к AB, точка Z на рисунке не отмечена) и AO_1F приводит в верному ответу буквально за одно действие.

Константин Лавров

Да, конечно, такое решение существенно короче. Еще можно также получить этот же результат через подобие треугольников ADB и AO_1F.