Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 500134

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Решение.

Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,

\angle KAC=180 в степени circ минус \angle KLC=\angle BLK.

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

AK плюс LC=KL плюс AC;

AB(1 минус k) плюс BC(1 минус k)=AC(1 плюс k) равносильно k= дробь, числитель — AB плюс BC минус AC, знаменатель — AC плюс AB плюс BC .

 

Подставляя известные значения сторон, находим k= дробь, числитель — 7 плюс 8 минус 9, знаменатель — 7 плюс 8 плюс 9 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Следовательно, KL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC= дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 .

Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 9. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.

Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB < BC. Значит, этот случай не достигается.

 

Ответ:  дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 ;9.


Аналоги к заданию № 500134: 500369 500590 500593 501069 511338 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Подобие