Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 500450

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Решение.

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.

 

Предположим, что BC = 30, AD = 20 (рис. 1). Стороны BC и AD треугольников MBC и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Значит,

MB= дробь, числитель — AB, знаменатель — 1 минус k =18, MC= дробь, числитель — CD, знаменатель — 1 минус k =24.

Заметим, что MB2 + MC2 = BC2, поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой MBC. Радиус его вписанной окружности равен:

r= дробь, числитель — MB плюс MC минус BC, знаменатель — 2 =6.

Пусть теперь AD = 30, BC = 20 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольники MAD и MBC подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Значит, радиус вписанной окружности треугольника MBC равен r = 6k = 4.

 

Ответ: 4; 6.

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Подобие