Тип Д14 C4 № 507771 
Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники
i
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13, 
высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.
Решение. 
Пусть K — середина искомой хорды AM. Через точку M проведём хорду MN, параллельную стороне BC. Тогда точка L пересечения отрезков AN и BC — середина AN, значит, задача имеет два решения. Кроме того, высота AP треугольника AMN вдвое больше высоты AH треугольника ABC, значит, AP = 10 и PH = 5. Пусть R = 13 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, Q — середина BC. Из прямоугольного треугольника OQB находим, что
а так как расстояние между параллельными хордами BC и MN также равно 5, то точка O лежит на отрезке MN. Следовательно, MN — диаметр окружности.
Из прямоугольного треугольника AOP находим, что 
Следовательно,
Аналогично находим, что 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 
