Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: пред­по­ло­жим, что от­ре­зок от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка ABC тре­уголь­ник ANM, обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS  — квад­ра­ты, MQ  =  PC  =  r, где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Кроме того, NQ  =  NP. Зна­чит, NM  =  NC. По­сколь­ку BN – бис­сек­три­са угла, тре­уголь­ни­ки NMB и NCB равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу.

Пусть CB  =  7x, а CA  =  24x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим ги­по­те­ну­зу AB  =  25x, от­ку­да AM  =  AB − BM  =  25x − 7x  =  18x.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMN и ACB по­лу­ча­ем: тогда от­ку­да

Найдём ра­ди­ус окруж­но­сти:

Если от­ре­зок от­се­ка­ет тре­уголь­ник BMN (рис. 2), то, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что BM  =  25x − 24x  =  x.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ACB и NMB сле­ду­ет от­ку­да по­лу­ча­ем и

В этом слу­чае

Ответ: 8 или 12,25.