ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д14 C4 № 513686 Добавить в вариант

Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM и MK в точках A, B и C соответственно.

а)  Докажите, что $KC= дробь: числитель: KL плюс KM минус LM, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите отношение BL : BM, если известно, что KC : CM  =  3 : 2 и $\angle MKL=60 градусов.$

Спрятать решение

Решение.

а)  Отрезки AK и CK, AL и BL, BM и CM попарно равны, так как это отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (см. рис.). Тогда:

$2KC плюс 2LB плюс 2MB=P равносильно 2KC=P минус 2 левая круглая скобка LB плюс MB правая круглая скобка =P минус 2LM,$

откуда следует, то, что требуется доказать.

б)  Положим KC  =  3, AL  =  x, тогда AK  =  3, CM  =  MB  =  2, BL  =  x.

Согласно теореме косинусов получаем:

$LM в квадрате =KM в квадрате плюс KL в квадрате минус 2 умножить на KM умножить на KL умножить на косинус \angle K,$

$левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ,$

откуда BL = x   =  5. Таким образом, BL : BM  =  5 : 2.

Ответ: б) 5 : 2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно ИЛИ получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 513686: 513716 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь