Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507176

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из { AC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 5 в степени 2 минус 4 в степени 2 }=3.

Тогда

S_{\Delta ABC}=AH умножить на HC=3 умножить на 4=12,

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=8r_1.

Из равенства 8r1 = 12 находим, что r1 = 1,5.

Второй случай. (рис. 2) Пусть AB = BC = 5, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Тогда

BH=3,AH=AB плюс BH=5 плюс 3=8.

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 5 умножить на 4=10,S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс AC плюс BC) умножить на r_2=(5 плюс 2 корень из { 5})r_2.

Из равенства (5 плюс 2 корень из { 5})r_2=10 получаем, что r_2= дробь, числитель — 10, знаменатель — 5 плюс 2 корень из { 5 }= дробь, числитель — 10(5 минус 2 корень из { 5}), знаменатель — 25 минус 4 умножить на 5 =10 минус 4 корень из { 5}.

 

 

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и AC=2 корень из { 5}. В этом случаем радиус будет равен r_3= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (5 минус корень из { 5}).

 

Ответ: 1,5, ~ 10 минус 4 корень из { 5}, ~ дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (5 минус корень из { 5}).


Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов ·
Ольга 10.05.2016 01:25

Почему вы сразу же не использовали формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

Константин Лавров

А есть такая формула? Мне она неизвестна, и ни разу в жизни не понадобилась. Наверное, если когда-нибудь понадобится ее будет нетрудно вывести.