Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 484620

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из { AC в степени 2 минус CH в степени 2 }= корень из { 13 в степени 2 минус 12 в степени 2 }=5.

Тогда

S_{\Delta ABC}=AH умножить на HC=5 умножить на 12=60,

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=18r_1.

Из равенства 18r1 = 60 находим, что r_1= дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 .

 

Второй случай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Тогда

BH=5,AH=AB плюс BH=13 плюс 5=18.

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 13 умножить на 12=78,S_{\Delta ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс AC плюс BC) умножить на r_2=(13 плюс 3 корень из { 13})r_2.

Из равенства (13 плюс 3 корень из { 13})r_2=78 получаем, что r_2= дробь, числитель — 3(13 минус 3 корень из { 13}), знаменатель — 2 .

 

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и AC=4 корень из { 13}. В этом случаем радиус будет равен r_3= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 (13 минус 2 корень из { 13}).

Ответ:  дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 , ~ дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 (13 минус 3 корень из { 13}), ~ дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 (13 минус 2 корень из { 13}).


Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник