Окруж­ность с цен­тром O, рас­по­ло­жен­ном внут­ри пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD, про­хо­дит через вер­ши­ны B и C боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны этой тра­пе­ции и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AD в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что угол BOC вдвое боль­ше угла BTC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки T до пря­мой BC, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции AB и CD равны 4 и 9 со­от­вет­ствен­но.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диа­мет­ре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q  — се­ре­ди­на MN.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник NQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те KN, если и LM  =  1.

Сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся не­ко­то­рой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние сто­ро­ны AD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках P и Q, причём точка  P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая  BC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, а точка Q лежит на пря­мой  BM.

а)  До­ка­жи­те, что ∠DMP = ∠CBM.

б)  Из­вест­но, что CM  =  17 и CD  =  32. Най­ди­те сто­ро­ну AD.

Сто­ро­ны KN и LM тра­пе­ции KLMN па­рал­лель­ны, пря­мые LM и MN  — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN  =  3, а ∠LMN  =  120°.

Одна окруж­ность впи­са­на в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию, а вто­рая ка­са­ет­ся боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и про­дол­же­ний ос­но­ва­ний.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно боль­шей бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны од­но­го из пря­мых углов тра­пе­ции до цен­тра вто­рой окруж­но­сти, если точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ной тра­пе­ции делит её на от­рез­ки, рав­ные 2 и 50.

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Одна из них ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон и боль­ше­го ос­но­ва­ния AD, вто­рая  — бо­ко­вых сто­рон, мень­ше­го ос­но­ва­ния BC и пер­вой окруж­но­сти.

а)  Пря­мая, про­хо­дя­щая через цен­тры окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке P. До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 3 и 1.

Сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся не­ко­то­рой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние сто­ро­ны AD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках P и Q, причём точка  P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая  BC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а)  До­ка­жи­те, что ∠DMP = ∠CBM.

б)  Из­вест­но, что CM  =  17 и CD  =  25. Най­ди­те сто­ро­ну AD.

Точки P, Q, W делят сто­ро­ны вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD в от­но­ше­нии AP : PB  =  CQ : QB  =  CW : WD  =  3 : 4, ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PQW, равен 10, PQ  =  16, QW  =  12, угол PWQ  — ост­рый.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник PQW  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD.

В тра­пе­ции АBCD угол BAD пря­мой. Окруж­ность, по­стро­ен­ная на боль­шем ос­но­ва­нии АD как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет мень­шее ос­но­ва­ние BC в точке C и M.

а)  До­ка­жи­те, что угол BАM равен углу CАD.

б)  Диа­го­на­ли тра­пе­ции АBCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АOB, если АB  =  6, а BC  =  4BM.

Окруж­ность с цен­тром О₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ВС и AD и бо­ко­вой сто­ро­ны АВ тра­пе­ции ABCD. Окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся сто­рон ВС, CD и AD. Из­вест­но, что АВ  =  10, ВС  =  9, CD  =  30, AD  =  39.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции АВСD.

б)  Най­ди­те О₁О₂.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD и пе­ре­се­ка­ет BC и CD в точ­ках E и K со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AE и AK равны.

б)  Най­ди­те AD, если CE  =  48, DK  =  20,

Окруж­ность с цен­тром в точке O вы­се­ка­ет на всех сто­ро­нах тра­пе­ции ABCD рав­ные хорды.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы всех углов тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в одной и той же точке.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если окруж­ность пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точ­ках K и L так, что AK  =  11, KL  =  10, LB  =  4.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точ­ках B и E и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точ­ках K и D.

а)  До­ка­жи­те, что AE  =  AK.

б)  Най­ди­те AD, если CE  =  10 , DK  =  9 и

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны и C па­рал­ле­ло­грам­ма и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AD в точке E, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BE и BK равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние KE к AC, если

Дана тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Около тре­уголь­ни­ка KLN опи­са­на окруж­ность, пря­мые LM и MN  — ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN  =  3, а LMN  =  120°.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка QN, если BC  =  4,5, AD  =  21,5, AB  =  26, CD  =  25, а угол CPD  — пря­мой.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность про­хо­дит через точки B и C и пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q, от­лич­ных от кон­цов от­рез­ка, со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те PM, если от­рез­ки AQ и BQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB  =  15, BC  =  1, CD  =  17, AD  =  9.

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая OB вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до пря­мой AC, если а ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 18.

В четырёхуголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка O.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, если AC  =  10, BD  =  26.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD, в ко­то­ром а AB  =  6, рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Окруж­ность с цен­тром в точке K, ра­ди­ус ко­то­рой равен 2, ка­са­ет­ся сто­рон AB и AD. Окруж­ность с цен­тром в точке L, ра­ди­ус ко­то­рой равен 1, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD и пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, K, L лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CLM, если M  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из вер­ши­ны B на пря­мую, про­хо­дя­щую через точки K и L.

Сто­ро­на AB квад­ра­та ABCD равна 1 и яв­ля­ет­ся хор­дой не­ко­то­рой окруж­но­сти, при­чем осталь­ные сто­ро­ны квад­ра­та лежат вне этой окруж­но­сти. Длина ка­са­тель­ной CK, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны C к этой окруж­но­сти, равна 2.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го центр квад­ра­та и центр окруж­но­сти равна длине от­рез­ка CK.

б)  Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD угол BCD  — тупой. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой CD и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую AD в точке E. На про­дол­же­нии BE за точку E от­ме­че­на точка F такая, что DE  =  DF.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, F, C и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AF, если BD  =  10 и

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка О.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка АBCD можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник ABCD, если AC  =  10 и BD  =  26.

B пря­мо­уголь­ни­ке ABCD на сто­ро­не AB как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность C цен­тром О. От­ре­зок OD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке М. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 5 : 2.

б)  Най­ди­те MC, если из­вест­но, что

В окруж­но­сти с цен­тром O по­стро­ен квад­рат KOFD так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки B, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды АВ и ВC, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны K и F квад­ра­та со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два по­доб­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, в каж­дый из ко­то­рых впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно квад­ра­ту этой диа­го­на­ли.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в эти тре­уголь­ни­ки, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 25.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Окруж­ность с диа­мет­ром AD пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну CD в точке L, а окруж­ность с диа­мет­ром AC пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке K. От­рез­ки AL и CK пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M лежит на диа­го­на­ли BD тра­пе­ции ABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до бо­ко­вой сто­ро­ны AB, если BC  =  4, AD  =  28.

Два квад­ра­та ABCD и AMNK с пе­ри­мет­ра­ми со­от­вет­ствен­но 20 и 24 рас­по­ла­га­ют в круге так, что точки C, D, M, N лежат на окруж­но­сти, A  — общая, B и K внут­ри круга, угол ВАK  — ост­рый.

а)  До­ка­жи­те, что угол BAK равен

б)  Най­ди­те пло­щадь круга.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ну C пря­мо­уголь­ни­ка ABCD и ка­са­ет­ся его сто­рон AB и AD в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но. К хорде KP про­ве­ден пер­пен­ди­ку­ляр CH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBK и CHP по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, если CH  =  7.

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD к боль­шей бо­ко­вой сто­ро­не ВС по­стро­ен пер­пен­ди­ку­ляр, пе­ре­се­ка­ю­щий ВС и AD в точ­ках F и N со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ABN про­хо­дит через T  — точку пе­ре­се­че­ния DF и NC, а окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка DNC про­хо­дит через Р  — точку пе­ре­се­че­ния АТ и BN. Угол NAT равен 18°.

а)  До­ка­жи­те, что PF па­рал­лель­на AB.

б)  Най­ди­те PT, если

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки АВС и ACD, делят диа­го­наль АС в от­но­ше­нии 2 : 1 : 1, счи­тая от точки А.

а)  До­ка­жи­те, что одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно бо­ко­вой сто­ро­не.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром диа­го­наль АС делит пло­щадь тра­пе­ции.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD точка K делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии АK : KВ  =  2 : 1, DK пе­ре­се­ка­ет АС в точке Р. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка Т так, что РТ ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ACD, а около четырёхуголь­ни­ка PCDT можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что AT : TD  =  5 : 3

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в четырёхуголь­ник PCDT, если АВ  =  3.