Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520871

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает BC и CD в точках E и K соответственно.

а) Докажите, что отрезки AE и AK равны.

б) Найдите AD, если CE = 48, DK = 20,  косинус \angle{BAD}\nbsp=\nbsp0,4.

Решение.

a) Заметим, что \angle{ABE}=\angle{ABC}=\angle{ADC}=\angle{ADK} Значит, хорды окружности AE и AK стягивают равные дуги. Поэтому эти хорды равны.

б) Поскольку прямые BC и AD параллельны, \angle{EAD}=\angle{AEB} , поэтому DE = AB = DC.

Пусть DM — медиана равнобедренного треугольника CDE. Тогда:

CD= дробь, числитель — CM, знаменатель — косинус \angle{ECD }= дробь, числитель — CE, знаменатель — 2 косинус \angle{BAD }=60,

 

CK=CD минус DK=40.

По свойству секущей CK умножить на CD=CE умножить на CB, откуда  AD=CB= дробь, числитель — CK умножить на CD, знаменатель — CE =50.

 

Ответ: б) 50.

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Дальний Восток. (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники