СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514097

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.

а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.

б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

Решение.

а) Пусть O — центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC, O1 — центр окружности, касающейся большей боковой стороны и продолжений оснований трапеции (рис. 1).

Точка O лежит на биссектрисах углов BCD и ADC, следовательно,

Точка O1 лежит на биссектрисе угла, смежного с углом BCD, значит, Аналогично, углы CO1D и ODO1 — прямые. Значит, OCO1D — прямоугольник, поэтому CD = OO1.

б) Пусть окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается стороны AD в точке P, а стороны CD — в точке M, вторая окружность касается прямой AD в точке Q (рис. 2).

Радиусы окружностей OP и O1Q равны половине расстояния между параллельными прямыми AD и BC. Получаем, что OO1QP — прямоугольник, следовательно, OO1 = PQ.

В прямоугольном треугольнике COD имеем:

В прямоугольном треугольнике AQO1 имеем:

Расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности равно

 

Ответ:

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники