Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520805

Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.

б) Найдите О1О2.

Спрятать решение

Решение.

а) Точка О1 равноудалена от прямых AD и ВС. Значит, точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Аналогично точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD, а значит, прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.

б) Пусть К — середина стороны АВ, а L — середина стороны CD. Точка О1 равноудалена от прямых АВ, ВС и AD, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Значит,

\angle{BAO_1} плюс \angle{ABO_1}= дробь, числитель — \angle{BAD} плюс \angle{ABC}, знаменатель — 2 =90 в степени circ

то есть \angle{AO_1B}=90 в степени circ. Следовательно, КО1 — медиана, проведенная к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.

Аналогично треугольник СО2D прямоугольный, а LO2 — медиана, проведенная к его гипотенузе CD. Точки К, О1, О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит,

O_1O_2=KL минус KO_1 минус LO_2= дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — CD, знаменатель — 2 =4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники