СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526218

Около описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если а радиус описанной окружности равен 18.

Решение.

а) Обозначим углы треугольника ABC: Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично Тогда Но следовательно, треугольник AOP — равнобедренный, а тогда

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180o, следовательно, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний. Искомое расстояние d равно его высоте:

По теореме синусов,

.

Следовательно,

 

Ответ: б) 27.

 

Примечание.

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о Трезубце):

1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники