Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если 
а радиус описанной окружности равен 18.
а) Обозначим углы треугольника ABC:
Заметим, что 
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично 
Тогда 
Но 
следовательно, треугольник AOP — равнобедренный, а тогда 
б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°, следовательно, 
как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC равносторонний. Искомое расстояние d равно его высоте: 
По теореме синусов
Следовательно, 
Ответ: б) 27.
Примечание Дмитрия Гущина.
Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в этой задаче ЕГЭ-2019 стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):
1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.
2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.
В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, и поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.
Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.