Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 521007

Окружность проходит через вершины A,B и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.

а) Докажите, что отрезки BE и BK равны.

б) Найдите отношение KE к AC, если \angle ABC=135 в степени circ.

Спрятать решение

Решение.

а) \angle BAE = \angle BCD как противоположные углы в параллелограмме. Так как они также являются вписанными углами, то и дуги BE и BK равны. Следовательно, хорды BK и BE равны, так как они стягивают равные дуги.

б) \angle BAD=180 в степени circ минус \angle ABC=45 в степени circ как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, дуги BK и BE равны 2 умножить на 45 в степени circ=90 в степени circ. Тогда дуга KE равна 360 в степени circ минус 2 умножить на 90 в степени circ=180 в степени circ. Поэтому вписанный \angle KBE =90 в степени circ. Тогда по теореме синусов для треугольников ABC и BKE

 дробь, числитель — AC, знаменатель — синус \angle ABC =2R= дробь, числитель — KE, знаменатель — синус 90 в степени circ равносильно AC= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 умножить на KE равносильно дробь, числитель — KE, знаменатель — AC = корень из { 2}.

Ответ: б)  корень из { 2}.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 25.06.2018. Вариант 557 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники