Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 521007
i

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A,B и C па­рал­ле­ло­грам­ма и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AD в точке E, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BE и BK равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние KE к AC, если \angle ABC=135 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  \angle BAE = \angle BCD как про­ти­во­по­лож­ные углы в па­рал­ле­ло­грам­ме. Они также яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми уг­ла­ми, по­это­му и дуги BE и BK равны. Сле­до­ва­тель­но, хорды BK и BE равны, по­сколь­ку они стя­ги­ва­ют рав­ные дуги.

б)  \angle BAD=180 гра­ду­сов минус \angle ABC=45 гра­ду­сов как од­но­сто­рон­ние углы при па­рал­лель­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, дуги BK и BE равны 2 умно­жить на 45 гра­ду­сов=90 гра­ду­сов. Тогда дуга KE равна 360 гра­ду­сов минус 2 умно­жить на 90 гра­ду­сов=180 гра­ду­сов. По­это­му впи­сан­ный \angle KBE =90 гра­ду­сов. Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков ABC и BKE

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: синус \angle ABC конец дроби =2R= дробь: чис­ли­тель: KE, зна­ме­на­тель: синус 90 гра­ду­сов конец дроби рав­но­силь­но AC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на KE рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: KE, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025