Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 670375
i

Два квад­ра­та ABCD и AMNK с пе­ри­мет­ра­ми со­от­вет­ствен­но 20 и 24 рас­по­ла­га­ют в круге так, что точки C, D, M, N лежат на окруж­но­сти, A  — общая, B и K внут­ри круга, угол ВАK  — ост­рый.

а)  До­ка­жи­те, что угол BAK равен дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

б)  Най­ди­те пло­щадь круга.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из усло­вия AB  =  5 и AK  =  6. Пусть угол BAK равен α. За­ме­тим, что

\angle MAC = \angle MAD плюс 45 гра­ду­сов = \angle DAN.

Обо­зна­чим \angle MAC = бета . За­ме­тим, что \angle CMN = \angle CDN = гамма . Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

CN в квад­ра­те = CM в квад­ра­те плюс MN в квад­ра­те минус 2 CM умно­жить на MN ко­си­нус гамма = CA в квад­ра­те плюс AM в квад­ра­те минус 2 AM умно­жить на CA ко­си­нус бета плюс MN в квад­ра­те минус 2 CM умно­жить на MN ко­си­нус гамма =
= 50 плюс 36 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета плюс 36 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 86 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та умно­жить на 6 ко­си­нус гамма .

С дру­гой сто­ро­ны,

CN в квад­ра­те = CD в квад­ра­те плюс DN в квад­ра­те минус 2 CD умно­жить на DN ко­си­нус гамма = CD в квад­ра­те плюс DA в квад­ра­те плюс AN в квад­ра­те минус 2 DA умно­жить на AN ко­си­нус бета минус 2 CD умно­жить на DN ко­си­нус гамма =
= 25 плюс 25 плюс 36 умно­жить на 2 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 97 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус гамма .

При­рав­ни­вая по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния, по­лу­чим, что

минус 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 86 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус гамма = минус 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 97 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус гамма .

Воз­мож­ны два слу­чая: либо ко­си­нус гамма = 0, от­ку­да угол CMN пря­мой, зна­чит, точки C, A, N лежат на одной пря­мой и угол BAK равен 45°, либо  ко­си­нус гамма не равно 0, от­ку­да

12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 86 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та = 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 97 минус 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус бета конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 36 умно­жить на 86 минус 25 умно­жить на 97 = ко­си­нус бета левая круг­лая скоб­ка минус 500 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 2160 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: 671, зна­ме­на­тель: 660 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но, ко­си­нус бета боль­ше 0 и бета мень­ше 90 гра­ду­сов, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

б)  Пусть R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. За­ме­тим, что от­ре­зок CN  — диа­метр. Тогда

4R в квад­ра­те = CN в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те = 122 плюс 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Таким об­ра­зом, пло­щадь круга равна

S = Пи R в квад­ра­те = Пи дробь: чис­ли­тель: 122 плюс 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи левая круг­лая скоб­ка 61 плюс 30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: Пи левая круг­лая скоб­ка 61 плюс 30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 477
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025