Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 525243

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ — вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому \angle BCQ = 180 градусов минус гамма . Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому \angle MPQ = 180 градусов минус гамма . Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, поэтому \angle MNC = 180 градусов минус \angle BCN = 180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус гамма правая круглая скобка = гамма . Тем самым, в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°: \angle MPQ плюс \angle MQN = 180 градусов минус гамма плюс гамма = 180 градусов, а значит, он вписанный.

б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: PN= дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби . Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN= дробь: числитель: 21,5 плюс 4,5, знаменатель: 2 конец дроби =13. Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 26, 17 и 25. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:

h= дробь: числитель: 2S, знаменатель: AL конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 34 умножить на 8 умножить на 17 умножить на 9 , знаменатель: 17 конец дроби = 24.

Отсюда находим:  синус \angle BAD= дробь: числитель: h, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби ,  синус \angle CDA= дробь: числитель: h, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби .

Поскольку \angle PMN=\angle BAD по теореме синусов для треугольника MPN найдем радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:

R = дробь: числитель: PN, знаменатель: 2 синус \angle PMN конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 умножить на дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 325, знаменатель: 48 конец дроби .

Так как \angle QNM=\angle CDA, можно найти MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

MQ=2R синус \angle QNM=2 умножить на дробь: числитель: 325, знаменатель: 48 конец дроби умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =13.

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, тогда

QN=2MN косинус \angle MNQ=2 умножить на 13 умножить на корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =26 умножить на дробь: числитель: корень из 25 в квадрате минус 24 в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби = 26 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 182, знаменатель: 25 конец дроби .

Ответ: а) доказано, б)  дробь: числитель: 182, знаменатель: 25 конец дроби .

 

 

Приведём другое решение пункта б).

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке R. Заметим, что треугольники MNR и BCR подобны с коэффициентом k= дробь: числитель: 4,5, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 26. Тогда  дробь: числитель: x, знаменатель: конец дроби x плюс 13 = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 26, откуда x= дробь: числитель: 117, знаменатель: 17 конец дроби и  дробь: числитель: y, знаменатель: конец дроби y плюс 12,5 = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 26, откуда y= дробь: числитель: 225, знаменатель: 34 конец дроби .

Через вершину B проведем отрезок BL, параллельный CN, получим треугольник MBL со сторонами 13, 12,5 и 8,5, к которому применим теорему косинусов. Для удобства можно рассмотреть подобный ему треугольник со сторонами 26, 25 и 17, для которого 25 в квадрате = 26 в квадрате плюс 17 в квадрате минус 2 умножить на 26 умножить на 17 косинус A, откуда  косинус A = дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 13.

По условию, треугольник CPD прямоугольный, отрезок PN является в нем медианой, проведенной к гипотенузе. Поэтому PN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD = 12,5. В треугольнике MPN угол M равен углу А, тогда по теореме косинусов имеем:

 PN в квадрате = MP в квадрате плюс MN в квадрате минус 2 MP умножить на MN косинус A равносильно 12,5 в квадрате = MP в квадрате плюс 13 в квадрате минус 2 умножить на 13 умножить на MP умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 13 равносильно

 равносильно MP в квадрате минус 10 MP плюс 12,75 = 0, откуда MP = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби или MP = дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 конец дроби .

Далее из подобия получаем:

 дробь: числитель: RQ, знаменатель: RM конец дроби = дробь: числитель: RP, знаменатель: RN конец дроби равносильно дробь: числитель: RQ, знаменатель: 13 плюс дробь: числитель: 117, знаменатель: 17 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 13 плюс дробь: числитель: 117, знаменатель: 17 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 12,5 плюс дробь: числитель: 225, знаменатель: 34 конец дроби конец дроби равносильно RQ = дробь: числитель: 325, знаменатель: 17 конец дроби ,

 

откуда QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь: числитель: 225, знаменатель: 34 конец дроби минус дробь: числитель: 325, знаменатель: 17 конец дроби = 0, или

 дробь: числитель: RQ, знаменатель: RM конец дроби = дробь: числитель: RP, знаменатель: RN конец дроби равносильно дробь: числитель: RQ, знаменатель: 13 плюс дробь: числитель: 117, знаменатель: 17 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 13 плюс дробь: числитель: 117, знаменатель: 17 конец дроби минус дробь: числитель: 17}2, знаменатель: 12,5 плюс дробь: числитель: 225, знаменатель: 34 конец дроби конец дроби равносильно RQ = дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби 031, знаменатель: 425 конец дроби ,

откуда QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь: числитель: 225, знаменатель: 34 конец дроби минус дробь: числитель: 5031, знаменатель: 425 конец дроби = дробь: числитель: 182, знаменатель: 25 конец дроби .

 

Приведём ещё одно решение пункта б).

По условию, четырехугольник PBCQ вписанный. Из этого следует, что углы PBQ и PCQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Заметим, что поскольку углы QNM и CDA равны, сумма противоположных углов АPQ и ADQ четырехугольника APQD также равна 180°, а значит, он тоже вписанный. Из этого следует, что углы PAQ и PDQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Объединяя эти наблюдения, заключаем, что в треугольниках CPD и BQA есть две пары равных углов:

\widehatABQ = \widehatPBQ = \widehatPCQ = \widehatPCD,

\widehatBAQ = \widehatPAQ = \widehatPDQ = \widehatPDC,

Но по условию, угол CPD прямой. Следовательно, угол BQA тоже прямой.

В прямоугольном треугольнике BQA проведенная к гипотенузе BA медиана равна ее половине: MQ=13. Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований: MN=13. Следовательно, треугольник MQN — равнобедренный. Тогда QN=2MN косинус \widehatMNQ =26 косинус \widehatADC.

Через вершину трапеции C проведем прямую, параллельную боковой стороне AB, и пусть S — точка ее пересечения с основанием трапеции AD. Стороны треугольника SCD равны 26, 17 и 25. Применим теорему косинусов:  CS в квадрате = SD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2 умножить на SD умножить на BC умножить на косинус \widehatADC, откуда

 косинус \widehatADC = дробь: числитель: 17 в квадрате плюс 25 в квадрате минус 26 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 17 умножить на 25 конец дроби = дробь: числитель: 17 в квадрате минус 51, знаменатель: 2 умножить на 17 умножить на 25 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .

Тем самым, QN=26 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 182, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019