СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525243

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.

Решение.

а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ — вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, поэтому Тем самым, в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°: а значит, он вписанный.

б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 26, 17 и 25. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:

Отсюда находим:

Поскольку по теореме синусов для треугольника MPN найдем радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:

Так как можно найти MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, тогда

Ответ: а) доказано, б)

 

 

Приведём другое решение пункта б).

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке R. Заметим, что треугольники MNR и BCR подобны с коэффициентом Тогда откуда и откуда

Через вершину B проведем отрезок BL, параллельный CN, получим треугольник MBL со сторонами 13, 12,5 и 8,5, к которому применим теорему косинусов. Для удобства можно рассмотреть подобный ему треугольник со сторонами 26, 25 и 17, для которого откуда

По условию, треугольник CPD прямоугольный, отрезок PN является в нем медианой, проведенной к гипотенузе. Поэтому В треугольнике MPN угол M равен углу А, тогда по теореме косинусов имеем:

откуда или

Далее из подобия получаем:

 

откуда или

откуда

 

Приведём ещё одно решение пункта б).

По условию, четырехугольник PBCQ вписанный. Из этого следует, что углы PBQ и PCQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Заметим, что поскольку углы QNM и CDA равны, сумма противоположных углов АPQ и ADQ четырехугольника APQD также равна 180°, а значит, он тоже вписанный. Из этого следует, что углы PAQ и PDQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Объединяя эти наблюдения, заключаем, что в треугольниках CPD и BQA есть две пары равных углов:

Но по условию, угол CPD прямой. Следовательно, угол BQA тоже прямой.

В прямоугольном треугольнике BQA проведенная к гипотенузе BA медиана равна ее половине: Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований: Следовательно, треугольник MQN — равнобедренный. Тогда

Через вершину трапеции C проведем прямую, параллельную боковой стороне AB, и пусть S — точка ее пересечения с основанием трапеции AD. Стороны треугольника SCD равны 26, 17 и 25. Применим теорему косинусов: откуда

Тем самым,

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника