Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 512338

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.

Решение.

а) Треугольник KOH равнобедренный и трапеция KLMN равнобедренная, поэтому ∠KHO = ∠OKH = ∠MNK. Значит, прямые OH и MN параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, NQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны MN в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHL имеем

OQ= дробь, числитель — OP, знаменатель — синус \angel OQP = дробь, числитель — R, знаменатель — синус 75 в степени circ ,KH=KL косинус \angle LKH=2R косинус 75 в степени circ.

Поэтому

 дробь, числитель — KH, знаменатель — NH = дробь, числитель — KH, знаменатель — OQ = дробь, числитель — 2R косинус 75 в степени circ, знаменатель — \dfrac{R { синус 75 в степени circ}}=2 синус 75 в степени circ умножить на косинус 75 в степени circ= синус 150 в степени circ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Пусть KH = x. Поскольку трапеция KLMN равнобедренная, KN = 2KH + LM, NH = KH + LM = x + 1.

Тогда

 дробь, числитель — KH, знаменатель — NH = дробь, числитель — x, знаменатель — x плюс 1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,

откуда x = 1. Значит, KN = 2x + 1 = 3.

 

Ответ: б) 3.


Аналоги к заданию № 512338: 512380 509204 510074 519904 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Сергей Пепеляев 26.05.2020 17:09

Более короткий вариант решения: продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке S. В прямоугольном треугольнике OPS угол OSР=30, OP=R, тогда OS=2R, LS=R.

Тогда KS=3R и KN=3*LM=3.