СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 516403

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Решение.

а) Треугольники ABC и PBQ подобны с коэффициентом подобия Отсюда следует, что PQ и AC параллельны и Аналогично QW и BD параллельны и BD = 28. Угол между прямыми AC и BD равен углу между прямыми PQ и QW. По теореме синусов в треугольнике PQW имеем

Отсюда

Следовательно, , откуда, учитывая, что угол W острый, находим, что , и, значит, , то есть треугольник PQW прямоугольный.

б) Угол между диагоналями четырёхугольника прямой. Поэтому его площадь равна

 

Ответ: 392.


Аналоги к заданию № 516403: 516383 Все

Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Подобие
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Игорь Саенко 17.05.2017 22:19

Здравствуйте. Первый пункт можно было решать через метод "от противного":

 

Допустим, PQW не прямоуг. => PW не равно 20 (т.к. в противном случае PW - диаметр описанной окружности, на который может опираться ТОЛЬКО прямой угол)... Через т.Пифагора находим PW. Она равна 20 => следовательно угол прямоугольный.

 

Такое док-во разве не засчитывается?

Константин Лавров

Да, возможно. Только нужно все очень аккуратно написать.