Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
а) По теореме синусов в треугольнике PQW имеем
Отсюда
Следовательно, 
откуда, учитывая, что угол W острый, находим, что 
и, значит, 
то есть 
треугольник PQW прямоугольный.
б) Треугольники ABC и PBQ подобны с коэффициентом подобия 
Отсюда следует, что PQ и AC параллельны и 
Аналогично треугольники CQW и CBD подобны с коэффициентом подобия 
следовательно, QW и BD параллельны и BD = 28. Угол между прямыми AC и BD равен углу между прямыми PQ и QW. Угол между диагоналями четырёхугольника ABCD прямой. Поэтому его площадь равна 
Ответ: 392.
Здравствуйте. Первый пункт можно было решать через метод "от противного":
Допустим, PQW не прямоуг. => PW не равно 20 (т.к. в противном случае PW - диаметр описанной окружности, на который может опираться ТОЛЬКО прямой угол)... Через т.Пифагора находим PW. Она равна 20 => следовательно угол прямоугольный.
Такое док-во разве не засчитывается?
Да, возможно. Только нужно все очень аккуратно написать.