СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526016

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 15, BC = 1, CD = 17, AD = 9 .

Решение.

a) По условию, четырёхугольник PBCQ вписанный. Значит, Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, . Для смежных углов справедливо равенство а значит, В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Пусть (эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте а) было показано, что это означает, что и, следовательно, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, и . Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, так как по условию AQ и BQ перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике CPD точка N — середина гипотенузы. Следовательно, С другой стороны, средняя линия трапеции

Покажем, что угол — прямой. Для этого на отрезке AD отметим точку E, так что тогда Заметим, что следовательно, по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ABE — прямоугольный, с прямым углом BAE. Значит, треугольник PNM также прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, получаем:

Ответ:

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 4, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника