Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 509582

Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

Решение.

а) Угол BTC вписан в окружность, а угол BOC — соответствующий ему центральный угол. Следовательно, ∠BOC = 2∠BTC.

б) Из условия касания окружности и стороны AD следует, что прямые OT и AD перпендикулярны. Пусть окружность вторично пересекает прямую AB в точке L и сторону CD — в точке M. Тогда диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам. Обозначим OT = r, тогда

AL = 2rAB = 2r − 4,      DM = 2rDC = 2r − 9.

По теореме Пифагора TB в степени 2 =AT в степени 2 плюс AB в степени 2 По теореме о касательной и секущей AT в степени 2 =AB умножить на AL = 4(2r минус 4). Следовательно, TB в степени 2 = 4(2r минус 4) плюс 4 в степени 2 = 8r.

Аналогично TC в степени 2 = 18r.

Из теоремы синусов следует, что BC = 2r · sin ∠BTC. Пусть h — искомое

расстояние от точки T до прямой BC . Выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

S_{BTC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 h умножить на BC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 TB умножить на TC умножить на синус \angle BTC.

Отсюда получаем, что h умножить на 2r умножить на синус \angle BTC = корень из { 8r} умножить на корень из { 18r} умножить на синус \angle BTC. Следовательно, h= корень из { 4 умножить на 9} = 6.

 

Ответ: 6.

 

Примечание.

Заметим, что AL больше радиуса окружности, а DC меньше диаметра, поэтому DC < 2AL. В данной задаче АВ = 4, CD = 9, поэтому точка В лежит на отрезке AL. При других числовых данных точка В может лежать на продолжении отрезка АL за точку L. Приведенное решение остается верным и для такого случая.

 

Приведем решение пункта б) Сергей Николаева.

Пусть K — точка пересечения прямых AD и ВC, точка S — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую BC. Треугольники DKC и AKB подобны по двум углам, поэтому KB:KC = AB:DC = 4:9. По теореме об отрезках секущей  KT в степени 2 =KB умножить на KC, тогда  KT в степени 2 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 умножить на KC в степени 2 , и KT:KC = 2:3. Треугольники KTS и KCD подобны по двум углам, поэтому TS:DC = KT:KC = 2:3, откуда TS= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на 9 = 6.

 

Еще один способ решения

приведен нами на сайте Решу ОГЭ в задании 340855.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Елена Волкова 09.03.2020 09:29

Есть гораздо более простое решение, см. задачу 340855 из Решу ОГЭ. Там такая задача решается через подобие и косинус угла С.

Татьяна Кравченко

Спасибо, привели другое решение.

Евгений Матвеев 06.06.2020 10:29

Можно немного проще. Опустим высоту TH из T на BC. Пары треугольников THC, ABT и BTH, TDC подобны по двум углам. Тогда TC:TH=TB:4 и TB:TH=TC:9. Перемножая их, получим: TH^2=36 или TH=6.

Татьяна Кравченко

Спасибо, привели другое решение.