а) Угол BTC вписан в окружность, а угол BOC — соответствующий ему центральный угол. Следовательно, ∠BOC = 2∠BTC.

б) Из условия касания окружности и стороны AD следует, что прямые OT и AD перпендикулярны. Пусть окружность вторично пересекает прямую AB в точке L и сторону CD — в точке M. Тогда диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам. Обозначим OT = r, тогда

По теореме Пифагора По теореме о касательной и секущей  Следовательно,

Аналогично

Из теоремы синусов следует, что BC = 2r · sin ∠BTC. Пусть h — искомое

расстояние от точки T до прямой BC . Выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

Отсюда получаем, что Следовательно,

Ответ: 6.

Примечание.

Заметим, что AL больше радиуса окружности, а DC меньше диаметра, поэтому DC < 2AL. В данной задаче АВ = 4, CD = 9, поэтому точка В лежит на отрезке AL. При других числовых данных точка В может лежать на продолжении отрезка АL за точку L. Приведенное решение остается верным и для такого случая.

Приведем решение пункта б) Сергей Николаева.

Пусть K — точка пересечения прямых AD и ВC, точка S — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую BC. Треугольники DKC и AKB подобны по двум углам, поэтому По теореме об отрезках секущей тогда и Треугольники KTS и KCD подобны по двум углам, поэтому откуда

Еще один способ решения

приведен нами на сайте Решу ОГЭ в задании 340855.