PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение. Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников
Откуда получаем: 
Аналогично, 
Тогда 
Возможны два случая:
1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда 
значит, 
2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда 
значит, 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).
Первый случай (рис. 1). AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
Тогда
Из равенства 8r1 = 12 находим, что r1 = 1,5.
Второй случай. (рис. 2) Пусть AB = BC = 5, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Тогда
Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
Из равенства 
получаем, что 
Рассмотрим третий случай.
Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и 
В этом случаем радиус будет равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).
Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
Тогда
Из равенства 18r1 = 60 находим, что 
Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:
Из прямоугольного треугольника ACH находим:
Тогда
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).
Первый случай. AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
Тогда
Из равенства 8r1 = 12 находим, что 
Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:
Из прямоугольного треугольника ACH находим:
Тогда
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.
Решение. Обозначим AB = x, AC = y, p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда
В трапецию BMNC вписана окружность поэтому
Значит,
По формуле Герона
Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Верноо рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины неправильные из-за арифметической ошибки | 1 |
| Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины | 2 |
| Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ. | 3 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 8 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
Решение. Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом
поэтому AT = 3CD = 24. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC.
Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом 
поэтому 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.
Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.
Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.
Отсюда 
Ответ: 12,5 или 6,72.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно верное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13, 
высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.
Решение. Пусть K — середина искомой хорды AM. Через точку M проведём хорду MN, параллельную стороне BC. Тогда точка L пересечения отрезков AN и BC — середина AN, значит, задача имеет два решения. Кроме того, высота AP треугольника AMN вдвое больше высоты AH треугольника ABC, значит, AP = 10 и PH = 5. Пусть R = 13 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, Q — середина BC. Из прямоугольного треугольника OQB находим, что
а так как расстояние между параллельными хордами BC и MN также равно 5, то точка O лежит на отрезке MN. Следовательно, MN — диаметр окружности.
Из прямоугольного треугольника AOP находим, что 
Следовательно,
Аналогично находим, что 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что 
BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.
Решение. 1. Решим эту задачу для случая, когда ABC — остроугольный треугольник.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник ABC подобен треугольнику BDE. Коэффициентом подобия этих треугольников является 
По теореме Пифагора из треугольника BEC
По теореме косинусов из треугольника ABC
2. Решим эту задачу для случая, когда угол B тупой. Пусть P — точка пересечения его высот.
В остроугольном треугольнике ACH прямые AE и CD являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники ACP и EDP являются подобными с коэффициентом подобия Из прямоугольного треугольника AEP
Треугольники AEP и ABD подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол A и оба прямоугольные. Следовательно, ∠P = ∠ABD, ∠ABC = 180° − ∠ABD.
По теореме косинусов из треугольника ABC
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике ABC, AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение. Пусть AD = d, BD = x, CD = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников
Откуда получаем: 
Аналогично, 
Тогда 
Возможны два случая:
1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда x = 1,5, y = 7,5, значит, EF = 4,5.
2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда y − x = BC = 9, значит, EF = 6.
Ответ: 4,5 или 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.
Решение. Пусть CH — высота треугольника ABC, r и Q — радиус и центр вписанной окружности, CH = 12, AH = 5, поэтому AC = 13. Найдем площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC:
Тогда 
Кроме того, по теореме Пифагора
Пусть окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен 6, поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой AB обозначим M.
Пусть точки B и M лежат по разные стороны от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и AQ — биссектрисы смежных углов ∠MAC и ∠CAB соответственно. Значит, ∠OAQ = 90°, и ∠MOA = ∠QAH, поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и AHQ подобны с коэффициентом 
Поэтому
Пусть точки B и M лежат по одну сторону от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи AO и AQ совпадают и являются биссектрисой угла MAC. Значит, прямоугольные треугольники AOM и AQH подобны с коэффициентом 
Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены оба случая и получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрен хотя бы один случай, для которого получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрен хотя бы один случай, для которого получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).
Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
Тогда
Из равенства 18r1 = 60 находим, что
Второй случай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Тогда
Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
Из равенства 
получаем, что 
Рассмотрим третий случай.
Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и 
В этом случаем радиус будет равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Решение. Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,
Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:
Подставляя известные значения сторон, находим 
Следовательно, 
Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 9. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.
Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB < BC. Значит, этот случай не достигается.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые AB и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Решение. Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,
Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:
Подставляя известные значения сторон, находим
Следовательно, 
Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен k = 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 7. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.
Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB < BC. Значит, этот случай не достигается.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 
Решение. Обозначим данный треугольник ABC, BC = 6x — основание, AB = AC = 5x. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть O — её центр, а E — точка касания с основанием BC.
Обозначим 
Так как BO — биссектриса треугольника ABE, то 
следовательно, 
Первый случай. Пусть прямая MN перпендикулярная AB, касается окружности, пересекает AB в точке M, а AC в точке N (рис. 1). Тогда 
В треугольнике AMN, имеем 
У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: 
Второй случай. Пусть прямая MN перпендикулярная AB, касается окружности, пересекает AB в точке M, а BC в точке N (рис. 2). В прямоугольном треугольнике BMN имеем
У описанного четырёхугольника ACNM суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен 
Решение. Обозначим данный треугольник ABC, 
— гипотенуза, 
Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности
Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: x = 8.
Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: x = 9.
Ответ: 8 или 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 14, а отношение катетов треугольника равно 
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке: предположим, что отрезок отсекает от треугольника ABC треугольник ANM, обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, где r — радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC. Поскольку BN – биссектриса угла, треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и острому углу.
Пусть CB = 7x, а CA = 24x, тогда по теореме Пифагора находим гипотенузу AB = 25x, откуда AM = AB − BM = 25x − 7x = 18x.
Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: 
тогда 
откуда 
Найдём радиус окружности:
Если отрезок отсекает треугольник BMN (рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 25x − 24x = x.
Из подобия треугольников ACB и NMB следует 
откуда получаем 
и 
В этом случае 
Ответ: 8 или 12,25.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно 
Решение. Обозначим треугольник ABC. Предположим, что отрезок NM отсекает от треугольника ABC треугольник ANM.
Обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S. Так как OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, где r — радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC. BN — биссектриса угла ABC.
Треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и катету. Пусть CB = 8x, а CA = 15x. По теореме Пифагора AB = 17x. Тогда AM = AB − BM = 17x − 8x = 9x. Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: откуда 
Следовательно, 
Найдём радиус окружности: 
Если отрезок отсекает треугольник BNM, то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 17x − 15x = 2x. Из подобия треугольников ACB и NMB получаем: откуда 
Тогда r = 3x = 32.
Ответ: 25 или 32.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из- за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.
Решение. Точка C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°. По теореме Пифагора
Пусть CD — высота треугольника ABC. Тогда:
Отсюда
Из прямоугольного треугольника находим:
Если точка M лежит между точками A и D, то 
Следовательно,
Если точка M лежит между B и D, то 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из- за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.
Решение. Точка C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°.
По теореме Пифагора 
Пусть CD — высота треугольника ABC. Тогда:
Из прямоугольного треугольника находим:
Если точка M лежит между точками A и D, то 
Следовательно,
Если точка M лежит между B и D , то 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из- за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 8. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Решение. Пусть ∠BAC = α. Тогда
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
Из прямоугольного треугольника OAD находим, что AD = 4OD, и тогда 
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности S внутренним образом, а вторая — внешним.
В первом случае:
По теореме Пифагора 
:
откуда находим, что 
Во втором случае:
Тогда 
откуда находим, что 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 5 и BC = 12. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Решение. Обозначим ∠BAC = α. Тогда 
, 
, 
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
Из прямоугольного треугольника OAD находим, что
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности S внутренним образом, а вторая — внешним.
В первом случае
По теореме Пифагора 
или
откуда находим, что 
Во втором случае
Тогда
откуда находим, что 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 115, BC = 184. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.
Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда
Предположим, что окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром O2, вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
а 
Из прямоугольного треугольника BMO2 находим:
Тогда CN = BM = 3r.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O1O2 = 2r, значит, MN = O1O2 = 2r, поскольку O1O2MN — прямоугольник. Следовательно,
откуда находим r = 23.
Пусть теперь окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром O2 вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников APO1 и BQO2 находим:
Следовательно,
откуда находим r = 20.
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB, получим тот же результат.
Ответ: 23 или 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 26, BC = 20. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.
Обозначим ∠ABC = ∠ACB = α. Тогда
Предположим, что окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром O2 вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
а 
Из прямоугольного треугольника BMO2 находим:
Тогда 
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O1O2 = 2r, значит, MN = O1O2 = 2r, поскольку O1O2MN — прямоугольник. Следовательно,
откуда находим r = 4.
Пусть теперь окружность радиуса r с центром O1 вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром O2 вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников APO1 и BQO2 находим:
Следовательно, 
откуда находим 
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB, получим тот же результат.
Ответ: 4 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
Решение. Заметим, что CB = CO = CD, поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA, OC и OE за точки A, C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A1, C1, E1. Тогда OA1 = OC1 = OE1 = 14 — диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A1, C1 и E1, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и DOF. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора 
или
Ответ: 14, 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Решение. Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABС равен 120°, а основание AC = 10,5, значит,
Треугольники AOB, COD, и EOF — равносторонние со стороной 
поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Пусть ОK, ОL и ОM — диаметры описанных окружностей треугольников AOB, СOD и EOF соответственно, OK = OL = OM = 7. Окружность S с центром O, проходящая через точки K, L и M, касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника CОD и внешним образом — описанных окружностей треугольников AOB и EОF. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника AOB на прямую OL. Тогда
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
По теореме Пифагора 
или
откуда находим x = 3.
Ответ: 7; 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.
Решение. Возможны два случая:
1) точка F лежит между A и C (рис. 1);
2) точка A лежит между F и C (рис. 2).
Рассмотрим первый случай.
поэтому треугольники CDF и CDB равны (обща сторона и все углы равны). Значит, BC = FC = AC − AF = 2.
Тогда искомый радиус равен 
Рассмотрим второй случай.
∠AFD = ∠AED = ∠ABC, поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 6. Тогда искомый радиус равен 
Ответ: 
Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что 
— самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 6, AF = 3, угол BAC равен 45°.
Решение. Возможны два случая:
1) точка F лежит между A и C (рис. 1);
2) точка A лежит между F и C (рис. 2).
Рассмотрим первый случай.
поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC − AF = 3.
Тогда искомый радиус равен 
Рассмотрим второй случай.
∠AFD = ∠AED = ∠ABC, поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 9. Тогда искомый радиус равен 
Ответ: 
Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что 
— самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол A.
Решение. Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.
Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо
на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.
Положим DB = t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:
Рассмотрим первый случай. По теореме синусов 
то есть 
откуда 
Во втором случае 
откуда 
Поскольку BC < AC, получаем: ∠BAC < ∠ABC, значит, ∠BAC — острый и равен 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.
Решение. Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠CDA = 90°. Аналогично, ∠BDA = 90°. Следовательно, точка D лежит на прямой BC.
Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке BC (рис. 1), либо
на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый.
Положим DB = 2t, DC = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:
Рассмотрим первый случай. По теореме синусов то есть 
откуда 
Во втором случае 
откуда 
Поскольку BC < AC, получаем: ∠BAC < ∠ABC, значит, ∠BAC — острый и равен 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому
а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p. Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому
значит, ra < rc.
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.
Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).
Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда
Следовательно,
Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой. Следовательно,
Ответ: 26 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.
Решение. Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BCD находим:
Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника 
Первый случай (точка D лежит между точками A и С, см. рис. 1):
Второй случай (точка C лежит между точками A и D, см. рис. 2):
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки (описки) | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки (описки) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.
Решение. Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка MH. Из прямоугольных треугольников KMH и MNH находим:
Опустим из точки O перпендикуляр OQ на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника 
Первый случай. Точка H лежит между точками K и N, см. рис. 1.
Второй случай. Точка N лежит между точками K и H, см. рис. 2.
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки (описки) | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки (описки) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.
Решение. Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание BC, O — центр вписанной окружности, P — точка ее касания с боковой стороной AB.
Тогда
Обозначим ∠BAD = α. Из прямоугольного треугольника находим, что
Тогда 
Пусть окружность с центром O1 и радиусом r1 касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC. Тогда D — точка касания, поэтому
Следовательно, 
Пусть теперь окружность с центром O2 радиуса r2 касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO2 и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, ∠DAO2 = 90°. Тогда ADQO2 — прямоугольник. Следовательно, r2 = O2Q = AD = 9. Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 9.
Ответ: 9 или 36.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
Решение. Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом
поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, 
Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.
Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, 
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности. Расстояние СM было найдено выше.
Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.
Отсюда 
Ответ: 7,5 или 7,2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно верное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена верная геометрическая конфигурация. Найдено одно значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.
Решение. В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.
Предположим, что BC = 30, AD = 20 (рис. 1). Стороны BC и AD треугольников MBC и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом 
Значит,
Заметим, что MB2 + MC2 = BC2, поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой MBC. Радиус его вписанной окружности равен:
Пусть теперь AD = 30, BC = 20 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольники MAD и MBC подобны с коэффициентом Значит, радиус вписанной окружности треугольника MBC равен r = 6k = 4.
Ответ: 4; 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.
Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E — точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рис. а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же чторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° находим, что 
Так как OA = R и AP = 1, получаем: 
следовательно, 
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:
В результате получаем уравнение:
Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка P (см. рис.).
Ответ: 1 или 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.
Решение. Обозначим AB = x, AC = y, пусть p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда
В трапеции BMNC вписана окружность, поэтому
значит,
По формуле Герона:
Отсюда находим, что 
или 
Ответ: 13 или 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ | 3 |
| Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины
| 2 |
| Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины, неправильные из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM и MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение BL : BM, если известно, что KC : CM = 3 : 2 и 
Решение. а) Отрезки AK и CK, AL и BL, BM и CM попарно равны, так как это отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (см. рис.). Тогда:
б) Положим KC = 3, AL = x, тогда AK = 3, CM = MB = 2, BL = x.
Согласно теореме косинусов получаем:
откуда BL = x = 5. Таким образом, BL : BM = 5 : 2.
Ответ: б) 5 : 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно ИЛИ получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и 
Решение. а) Отрезки AK и AN, BK и BM, CN и CM попарно равны, так как это отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (см. рис.). Тогда:
откуда 
что и требовалось доказать.
б) Положим AN = 4, BK = x, тогда AK = 4, CN = CM = 3, BM = x.
Согласно теореме косинусов получаем:
откуда x = 
BK = 
Таким образом, AK : KB = 5 : 7.
Ответ: б) 5 : 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно ИЛИ получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Из середины катета прямоугольного треугольника на его гипотенузу опущен перпендикуляр, длина которого равна 1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если длина одного из его катетов равна 4.
Решение. Пусть ABC ― данный треугольник (
), MK ― перпендикуляр, опущенный из середины M любого катета треугольника ABC на гипотенузу AB и равный 1, CN ― высота треугольника ABC (см.рисунок). Тогда 
Не теряя общности, положим 
Тогда 
Искомый радиус r находится из условия 
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BA и BC в точках E и F.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник BEF, лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC.
б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если AB = BC, BE = 13, EF = 10.
Решение. а) Проведем биссектрису угла BEF. Пусть она пересекает окружность точке K. Тогда углы KFE и KEB равны как углы между касательной и хордой. Далее, BE = BF, следовательно, углы BEF и BFE равны, значит, FK — биссектриса угла BFE, откуда точка K — центр вписанной окружности треугольника BEF.
б) Расстояние между центром окружностей равно радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC. Пусть BD пересекает EF в точке M. BE = 13, EM = 5. Таким образом, по теореме Пифагора BM = 12. Треугольники EOM и BEM подобны, поэтому 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике ABC 
BD — диаметр описанной около треугольника ABC окружности. Продолжение высоты BH пересекает окружность в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка DL, если радиус описанной окружности равен 
Решение. а) Углы ACD и ABD равны так как опираются на одну дугу. Находим:
тогда 
б) Вычиcлим:
Тогда по теореме синусов
Ответ: 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N . Известно, что угол ABC равен 60°.
а) Докажите, что N — центр окружности, описанной около треугольника AIC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что IN = 1.
Решение. а) Точка I является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдем
Тем самым NA = NI.
Далее, 
Таким образом, NA = NС, следовательно, точка N является центром окружности, описанной около треугольника AIC.
б) Вычислим: 
Поскольку AN = NI = NC = 1, из теоремы косинусов получаем:
Тогда 
По теореме синусов 
Тогда 
Ответ: б) 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике АВС точка О — центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D, а описанную вокруг треугольника АВС окружность — в точке Т.
а) Докажите, что АС — биссектриса угла ТСВ.
б) Найдите CD, если АВ = 84, АС = 98.
Решение. а) Отрезки BO и OT равны как радиусы, таким образом, треугольник BOT является равнобедренным. Отрезок AO делит BT пополам, таким образом, треугольник ABT является также равнобедренным, тогда AB = AT и углы ABT и ACT равны. Но углы ABT и ACT равны и ATB и ACB также равны, так как вписаные. Таким образом, CD — биссектриса BCT.
б) Треугольники ATD и ACT подобны по двум углам. Тогда 
откуда
Ответ: б) 26.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, а катета АС — в точке N, AC < BC. Прямые MN и СО пересекаются в точке К.
а) Докажите, что угол CKN в два раза меньше угла АВС.
б) Найдите ВК, если 
Решение. а) Найдем угол CKN:
Мы использовали теорему о внешнем угле и то факт, что центр вписанной окружности лежит на точке пересечения биссектрис. Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) заключаем, что углы OBM и OKM равны, следовательно, точки O, B, K, M лежат на одной окружности. Углы OMB и OKВ — прямые, 
поскольку центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. Тогда треугольник CKB является равнобедренным с прямым углом CKB, откуда 
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка М, причем 
Прямая АМ пересекает окружность, описанную около треугольника АВС в точке N, отличной от А. Известно, что 
а) Доказать, что 
б) Найдите длину отрезка AN.
Решение. а) Заметим, что углы BAN и BCN равны так как они являются вписанными. Вычислим:
По теореме синусов 
где R — это радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, а значит и вокруг треугольника ABN. Аналогично 
Значит,
б) По теореме косинусов:
Пусть BN = x, тогда по теореме косинусов в треугольнике BNC получаем:
Теперь по теореме косинусов в треугольнике ABN получаем:
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 484610 | или |
| 2 | 507176 | |
| 3 | 507494 | или |
| 4 | 507498 | или |
| 5 | 507632 | 12,5 или 6,72. |
| 6 | 507771 | |
| 7 | 507818 | |
| 8 | 484611 | 4,5 или 6. |
| 9 | 501438 | |
| 10 | 484620 | |
| 11 | 500134 | |
| 12 | 500369 | |
| 13 | 484624 | или |
| 14 | 484625 | 8 или 9. |
| 15 | 485949 | 8 или 12,25. |
| 16 | 485957 | 25 или 32. |
| 17 | 485937 | |
| 18 | 485945 | |
| 19 | 485985 | или |
| 20 | 485999 | или |
| 21 | 500349 | 23 или 20. |
| 22 | 500066 | 4 или |
| 23 | 500195 | 14, 6. |
| 24 | 500476 | 7; 3. |
| 25 | 500215 | |
| 26 | 500389 | |
| 27 | 500410 | |
| 28 | 500430 | |
| 29 | 500964 | 26 или |
| 30 | 501398 | или |
| 31 | 501418 | или |
| 32 | 484614 | 9 или 36. |
| 33 | 485990 | 7,5 или 7,2. |
| 34 | 500450 | 4; 6. |
| 35 | 500818 | 1 или 7. |
| 36 | 500920 | 13 или 20. |
| 37 | 513686 | б) 5 : 2. |
| 38 | 513716 | б) 5 : 7. |
| 39 | 517427 | |
| 40 | 542042 | б) |
| 41 | 543776 | 12. |
| 42 | 546445 | б) 1. |
| 43 | 546985 | б) 26. |
| 44 | 547767 | б) 2. |
| 45 | 548183 | б) 4. |