Всего: 24 1–20 | 21–24
Добавить в вариант
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.
а) Докажите, что утроенный объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.
б) Найдите площадь этого сечения.
Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
Найдем теперь объем одной из частей, выразив его через объем всей пирамиды:
У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.
и 
и 
откуда 
и 
Отношение этих отрезков к гипотенузе равны 
и 
откуда следует общая формула для ответа: 
Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.
поэтому сечение пирамиды — трапеция ABKL.
и ответ 3 : 5.В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а объём призмы равен 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а объём призмы равен 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 48. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.
а) Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.
и 
на ребрах 
и AB соответственно так, чтобы 
Тогда плоскость 
— это плоскость 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
Она перпендикулярна AC, а значит, и 
По теореме о трех перпендикулярах 
точки M на плоскость 
Проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
поэтому 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется, что 
тогда и 
за 
и 
— проекции точек 
Тогда
= 180° − 90° = 90°, что и требовалось доказать.
поскольку 
— равносторонний треугольник.
использована формула 
где а и b — противоположные ребра тетраэдра, а с и φ — соответственно расстояние и угол между ними. Эта формула приведена в школьном учебнике Л. С. Атанасяна Геометрия 10–11 для самостоятельного доказательства (задача № 803).
и 
тогда
тогда
пересекает медиану BN треугольника ABC в точке P.
Эта плоскость проходит через ось Ox, следовательно, 
Пусть плоскость 
Подставив их в уравнение плоскости 
найдем 
Вектор нормали плоскости 
коллинеарен вектору 
следовательно, плоскость 
что и требовалось доказать.
до плоскости 
Она равна 
Основание пирамиды — трапеция с основаниями 
и 
и высотой 
На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём 
Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до плоскости ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому 
то есть 
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому 
то есть 
На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём 
Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому 
то есть 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
высота общая.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q — середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
поэтому PDCQ — параллелограмм, 
поэтому 
то есть 
Так как 
и 
так как пирамида правильная, то 
следовательно, 
и 
то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC. Тогда 
расстояние от точки D до плоскости SBC в 1,5 раза больше, чем от точки M. Значит, 
из чего следует, что 
тогда 
В основании прямой призмы 
лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки 
и С проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что 
Эта точка тоже лежит в плоскости сечения и сечение — четырехугольник 
Поскольку прямая 
параллельна прямой 
(пересечение плоскости с двумя параллельными плоскостями), тело 
— наклонная призма с основанием 
и высотой, равной расстоянию между плоскостями, то есть высоте трапеции: 
и отношение объемов 
что и требовалось доказать.
В конусе с вершиной в точке Р высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр CD и перпендикулярную ему хорду АВ. Известно, что хорда АВ удалена от центра основания на расстояние, равное 1.
а) Докажите, что треугольник РАВ прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид САРВ и DАРВ.
Тогда: 
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7 : 17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
тогда 
Значит, точка T лежит в плоскости 
и сечение — трапеция 
Вычислим теперь объем одной из частей (за V обозначен объем параллелепипеда).
направленными вдоль прямых 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Написав уравнение плоскости, проходящей через них, получим 
Тогда расстояние от точки 
до этой плоскости составит 
На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно, причем EM : EA = 1 : 2, EN : EB = 2 : 3, EK : EC = 1 : 3 .
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?
Пусть TK пересекает ED в точке 
Тогда KNMQ — искомое сечение.
откуда 
то есть 
Поскольку треугольники TEM и XAM равны по стороне и двум углам, то 
то 
откуда 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ = 5, CD = 4, ВС = 6. Через точку С и середину ребра ВВ1 параллельно B1D проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро АА1 в такой точке Р, что А1Р = 3АР.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит сечение призмы плоскостью β, если известно, что ВВ1 = 16.
Обозначим середину 
за K и середину BD за O, тогда 
и Значит, точка O тоже лежит в сечении. Продлим CO до пересечения с AD в точке M, тогда CBMD — параллелограмм (O лежит на средней линии трапеции, Значит, 
) и даже прямоугольник, Значит, 
и 
Тогда 
из-за параллельности граней 
и 
Тогда треугольники CBK и MAP подобны с коэффициентом 
откуда 
что и требовалось. 
На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD отмечена точка M, причем 
Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Тогда 
поэтому точки P, Q, M, T лежат в одной плоскости и PQMT — сечение. Поскольку прямая TM параллельна прямой PQ и 
оно является трапецией.
поэтому треугольники MDQ и TCP равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 
и трапеция равнобедренная.
Точки M, N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы 
и делят их в отношении 
а) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M, N и P?
б) Докажите, что MNP — прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна 
а боковое ребро равно 60.
а сторону основания за 
Тогда площадь основания 
и объем всей призмы равен 
Отметим, что 
отрезок от ее основания до M будет равен 
поскольку 
Значит, по теореме Пифагора 
Аналогично 
и 
Поскольку 
треугольник MNP прямоугольный по обратной теореме Пифагора. В кубе сечение проходит через вершину A и центры граней 
и 
а) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба.
б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.
и 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
поэтому прямая 
(а значит, и 
). Обозначим ее пересечение с прямой 
— параллелограмм, поэтому 
Проведем прямую 
и обозначим ее пересечение с BC и 
и обозначим за Q ее пересечение с ребром 
Тогда PQAS — требуемое сечение.
и TSB подобны с коэффициентом 
поэтому 
Точка P симметрична S относительно 
поэтому 
Аналогично, точка Q симметрична P относительно 
поэтому 
тогда 
Ясно, что прямая NS параллельна прямой 
— наклонная треугольная призма. Обозначим ребро куба за a. Тогда:
и 
б) 