На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём 
Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
а) По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, MN || PQ, и потому точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.
Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 8. Значит, 
Площадь треугольника MBN составляет 
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому 
Таким образом, 
то есть 
Ответ: 9 : 23.