Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517453

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:3. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 8. Значит, V_{PQCN}= дробь, числитель — V, знаменатель — 16 .

Площадь треугольника MBN составляет  дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 площади ABC. Значит,  дробь, числитель — S_{ACNM}, знаменатель — S_{ABC }= дробь, числитель — 7, знаменатель — 16 . Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому V_{PACNM}= дробь, числитель — 7V, знаменатель — 32 .

Таким образом, V_{APMCQN}= дробь, числитель — 9V, знаменатель — 32 , то есть  дробь, числитель — V_{APMCQN}, знаменатель — V_{BMNDPQ }= дробь, числитель — 9, знаменатель — 23 .

 

Ответ: 9 : 23.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 303 (C часть).