Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 504437
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA  =  6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что утро­ен­ный объем пи­ра­ми­ды SABC равен про­из­ве­де­нию ребра SC на пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  В тре­уголь­ни­ке BCS про­ведём вы­со­ту BK, тогда ис­ко­мое се­че­ние  — тре­уголь­ник ABK. Пусть Q  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK. Се­че­ние из усло­вия раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на тет­ра­эд­ры CAKB и SAKB. Их сум­мар­ный объём

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на Q умно­жить на SK плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на Q умно­жить на CK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на Q умно­жить на SC

равен объёму пи­ра­ми­ды.

б)  Пусть  — SO вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке SCO имеем:

CO= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

 

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SC в квад­ра­те минус OC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 69 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

Объём пи­ра­ми­ды SABC равен

V_пир= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на SO умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 69 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

При­рав­ни­вая два най­ден­ных зна­че­ния для объёма, по­лу­ча­ем

Q= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 504416: 504437 511387 Все

Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объ­е­мов ча­стей, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025