СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Ре­ше­ние.

а) Рас­смот­рим пра­виль­ный тет­ра­эдр B1AD1C. В нём B1K = B1L = B1M — апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней — рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды B1KLM равны. Кроме того, в ос­но­ва­нии этой пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник KLM. Сле­до­ва­тель­но, пи­ра­ми­да пра­виль­ная. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) За­ме­тим, что

так как вы­со­та общая.

Куб ABCDA1B1C1D1 со­сто­ит из пи­ра­мид B1AD1C, AA1B1D1, CB1C1D1, B1ABC и D1ACD.

Объём куба равен 216. Тогда

 

 

Ответ: б) 18.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Правильная треугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки