Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M  — цен­тры гра­ней ABCD, AA1D1D и CC1D1D со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что B1KLM  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём B1KLM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Рас­смот­рим пра­виль­ный тет­ра­эдр B1AD1C. В нём B1K  =  B1L  =  B1M  — апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней  — рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды B1KLM равны. Кроме того, в ос­но­ва­нии этой пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник KLM. Сле­до­ва­тель­но, пи­ра­ми­да пра­виль­ная. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что

V_B_1KLM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби V_B_1AD_1C,

по­сколь­ку S_\Delta KLM : S_\Delta AD_1C = 1 : 4, вы­со­та общая.

Куб ABCDA1B1C1D1 со­сто­ит из пи­ра­мид B1AD1C, AA1B1D1, CB1C1D1, B1ABC и D1ACD.

Объём куба равен 216. Тогда

V_AA_1B_1D_1=V_CB_1C_1D_1=V_B_1ABC=V_D_1ACD= дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,

V_B_1AD_1C= дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; V_B_1KLM= дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби =18.

Ответ: б) 18.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Куб, Объем как сумма объ­е­мов ча­стей, Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025