СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Решение.

а) Рассмотрим правильный тетраэдр B1AD1C. В нём B1K = B1L = B1M — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды B1KLM равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник KLM. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что

так как высота общая.

Куб ABCDA1B1C1D1 состоит из пирамид B1AD1C, AA1B1D1, CB1C1D1, B1ABC и D1ACD.

Объём куба равен 216. Тогда

 

 

Ответ: б) 18.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Классификатор стереометрии: Куб, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Правильная треугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки