Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514513

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.

Решение.

Площадь основания призмы равна 16 корень из 3 , а объём призмы равен 128 корень из 3 .

В четырёхугольной пирамиде B1A1C1NM высота совпадает с высотой основания призмы A1B1C1, опущенной на сторону A1C1, и равна 4 корень из 3 . Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 48. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 64 корень из 3 , то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна 4 корень из 3 . Основанием пирамиды является трапеция ACNM, площадь которой SACNM = 16. Тогда VBACNM =  дробь, числитель — 64 корень из 3 , знаменатель — 3 .

Многогранник ABCMB1N состоит из двух частей: BACNM и MNBB1. Значит, V_{MNBB_1}= дробь, числитель — 128 корень из 3 , знаменатель — 3 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 128 корень из 3 , знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 514506: 514513 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 202. Юг