Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517541

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Решение.

а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. Так как PD = CQ, PD \parallel CQ, то PDCQ — параллелограмм, PQ \parallel CD. Поскольку PQ \parallel CD, PQ \subset MPQ, то MN \parallel PQ\parallel CD.

Тогда  дробь, числитель — SM, знаменатель — MD = дробь, числитель — SN, знаменатель — NC , то есть MD = NC. Так как MD = NC, CQ = PD и \angle SCB = \angle SDA, так как пирамида правильная, то \triangle NCQ = \triangle PDM, следовательно, NQ = MP.

Поскольку NQ = MP и MN \parallel PQ, то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что S_{DPQC} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{ABCD}, расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC . Тогда  дробь, числитель — V_{MPDCQ}, знаменатель — V_{SABCD }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 .

По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами  дробь, числитель — S_{\triangle CQN}, знаменатель — S_{\triangle CSB }= дробь, числитель — CN, знаменатель — CS умножить на дробь, числитель — CQ, знаменатель — CB = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 , расстояние от точки D до плоскости SBC, в 1,5 раза больше чем от точки M. Значит,  дробь, числитель — V_{MNCQ}, знаменатель — V_{SABCD } = дробь, числитель — V_{MNCQ}, знаменатель — 2V_{SBCD } = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 18 , из чего следует, что V_{CQPDMN} = левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 правая круглая скобка V_{SABCD} = дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 V_{SABCD}, тогда  дробь, числитель — V_{CQPDMN}, знаменатель — V_{PQNMSBA } = дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 .

 

Ответ:б)  дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 .

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение -- трапеция, Сечение отсекает тело, Сечение, проходящее через три точки