СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517541

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Решение.

а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. Так как PD = CQ, то PDCQ — параллелограмм, Поскольку , то

Тогда , то есть Так как , и , так как пирамида правильная, то , следовательно,

Поскольку и , то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC . Тогда

По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами расстояние от точки D до плоскости SBC, в 1,5 раза больше чем от точки M. Значит, , из чего следует, что , тогда

 

Ответ:б)

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение — трапеция, Сечение отсекает тело, Сечение, проходящее через три точки