Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q — середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. PD = CQ, 
поэтому PDCQ — параллелограмм, 
поэтому 
Тогда 
то есть 
Так как 
и 
так как пирамида правильная, то 
следовательно, 
Поскольку 
и 
то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что 
расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC. Тогда 
По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами 
расстояние от точки D до плоскости SBC в 1,5 раза больше, чем от точки M. Значит, 
из чего следует, что 
тогда 
Ответ: б) 
Примечание.
Обратим внимание читателей на то, что в условии указано отношение SM : SD, а не отношение SM : MD. Если SM : SD = 2 : 3, то MD : SD = 1 : 3.