Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517439

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=3:1. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC параллельно MN. Далее, PQ параллельно AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN параллельно PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до плоскости BCD вдвое меньше расстояния от A до той же плоскости, при этом  дробь, числитель — S_{QCN}, знаменатель — S_{BCD }= дробь, числитель — CN умножить на CQ, знаменатель — CB умножить на CD = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 . Значит, V_{PQCN}= дробь, числитель — 3V, знаменатель — 16 .

Площадь треугольника MBN составляет  дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 площади ABC. Значит,  дробь, числитель — S_{ACNM}, знаменатель — S_{ABC }= дробь, числитель — 15, знаменатель — 16 . Расстояние от точки P до плоскости ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому V_{PACNM}= дробь, числитель — 15V, знаменатель — 32 .

Таким образом, V_{APMCQN}= дробь, числитель — 21V, знаменатель — 32 , то есть  дробь, числитель — V_{APMCQN}, знаменатель — V_{BMNDPQ }= дробь, числитель — 21, знаменатель — 11 .

 

Ответ: 21 : 11.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 302 (C часть).