В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC.
а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.
б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.
а) В треугольнике BCS проведём высоту BK, тогда искомое сечение — треугольник ABK. Пусть Q — площадь треугольника ABK. Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB. Их суммарный объём
равен объёму пирамиды SABC. С другой стороны 
Тогда 
б) Пусть SO — высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:
Вычислим объём пирамиды SABC:
Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем
Ответ: 
Примечание Дмитрия Гущина.
По сути, решение основано на вычислении объема двумя способами: 
и 
А разве нельзя найти поочередно стороны треугольника ABК, который является равнобедренным с основанием AB (AK=BK находящиеся через теорему Пифагора)
Затем найти высоту, проведенную через вершину К к отрезку АВ и впоследствии найти площадь треугольника самым, что ни на есть, обыденным способом?
Можно, но теорема Пифагора здесь ни при чем. Скорее уж, двумя различными способами вычисленная площадь боковой грани.
А разве тетраэдр - это не пирамида с одинаковыми ребрами? Здесь ведь ребра не одинаковы?
То, о чем Вы говорите, называется правильный тетраэдр.