На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
а) По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, MN || PQ, и потому точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMNCQ состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.
Расстояние от P до BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD, а площади треугольников QCN и BCD, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом, относятся как 1 : 6. Значит, 
Площадь треугольника MBN составляет 
площади ABC. Значит, 
Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому 
Таким образом, 
то есть 
Ответ: 13 : 23.
Смею напомнить, что название пирамиды начинается с вершины, не лежащей на плоскости основания, а не как вздумается, из-за этого возникают серьезные проблемы при попытке решения.
Основанием данной треугольной пирамиды можно считать любую грань. И решение от этого не зависит.