В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания 
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую KM и параллельна SA.
а) Докажите, что плоскость делит ребро AC в отношении 1 : 2, считая от вершины A.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
а) Пусть плоскость пересекает ребро AC в точке P. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SСA по прямой, параллельной SA. Тем самым, прямые MP и SA параллельны, треугольники CMP и CSA подобны, а 
б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро SB в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников BKL и BAS находим, что 
Из равенства 
следует, что PK и CB параллельны.
Пусть, далее, H — середина ВC. Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR. Прямая SA параллельна плоскости α, поэтому искомое расстояние от прямой SA до прямой КМ равно d(SA, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SA и QR. Найдем его.
Найдем длины сторон треугольника SHА: 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: 
Тогда 
Из подобия треугольников AKP и ABC получаем: 
Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении 1 : 2, считая от точки T. Следовательно, 
Ответ: б) 
Примечание.
Внимательный читатель заметит, что найденная длина отрезка AT превосходит всю длину ребра AS. Это означает, что в действительности, основание высоты HT лежит на продолжении ребра SA за точку S.
В пункта а) треугольник CMP подобен CSA, но не SCA, в пункте б) BKL подобен BAS, но не SBA. За неправильный порядок следования вершин при «благоприятном» раскладе поставят 0 баллов.
Проверяющие ЕГЭ эксперты не имеют права снижать баллы, основываясь лишь на своих предпочтениях к записи решений. В действующих учебниках не только нет требования к учащимся соблюдать порядок перечисления вершин при ссылке на равенство или подобие плоских либо или объемных геометрических фигур, но даже и упоминания об этом, как о правиле «хорошего тона». Другим таким правилом можно было бы считать указание вершин прямоугольного треугольника в таком порядке, чтобы вершина прямого угла перечислялась между вершинами острых углов. Так что точно не снизят. В то же время мы сами предпочитаем следовать удобным правилам. Обозначения исправили.