В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
а) Пусть точка H — середина ребра BC, а плоскость α пересекает ребра SB и АС в точках L и N соответственно. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC. Следовательно, прямая SA перпендикулярна прямой BC.
Поскольку прямая SA параллельна плоскости α, прямые KL и MN параллельны прямой SA, а значит,
SL : LB = AK : KB = SM : MC = AN : NC.
Следовательно, прямые LM и KN параллельны прямой BC.
Таким образом, KLMN является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым SA и BC соответственно, то есть KLMN — прямоугольник.
б) Прямая BC, параллельная прямой KN, перпендикулярна плоскости ASH, значит, плоскости
Пусть плоскость ASH пересекает прямые KN и LM в точках E и F соответственно. Тогда высота пирамиды AKLMN равна расстоянию h между прямыми SA и EF.
Высота SO пирамиды SABC лежит в плоскости ASH, AO : OH = 2 : 1, откуда
Объём пирамиды AKLMN равен
Ответ: б) 