PDF-версии: 
Дана пирамида SABC, в которой 
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами
Решение. а) Заметим, что треугольники SBC и АВС равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA.
б) Построим высоту NМ треугольника ASN. Заметим, что NМ является общим перпендикуляром прямых AS (по построению) и ВС, поскольку NМ лежит в плоскости ASN. Тогда длина NМ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми
Заметим, что 
Тогда треугольник SNA равнобедренный, его высота NМ является также медианой, тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Тогда треугольник SNМ равнобедренный, его высота SNМ является также медианой, а тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:
а 
Пусть точка М делит ребро SN на отрезки x и 
Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:
откуда 
а 
Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:
откуда 
Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB. 
считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении 
является прямоугольником.
если известно, что 
поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость 
поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение — параллелограмм.
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем: 
поэтому 
а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, 
считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем: 
поэтому 
а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом 
Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или 
что и требовалось доказать.
Из равенства 
следует, что 
где O — основание высоты пирамиды, тогда
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую KM и параллельна SA.
Из равенства 
следует, что PK и CB параллельны. 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: 
Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении 1 : 2, считая от точки T. Следовательно, 
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
прямая MN лежит в плоскости 
Прямые BC и KN параллельны, поскольку
откуда
поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.
Пусть 
тогда 
применяя теорему Пифагора из треугольников 
поэтому 
а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между 
Тогда 
Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем: 
поэтому 
а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть одна восьмая высоты HT: 
следовательно, 
Аналогично 
Следовательно, 
Значит, точки N, K, M, E лежат в одной плоскости, причём эта плоскость параллельна прямой AD. Значит, это и есть плоскость α.
(как средние линии равных правильных треугольников). Значит, KNME — ромб.
Следовательно, 
(соответственные медианы этих треугольников). 
поэтому ромб KNME является также прямоугольником. Следовательно, KNME — квадрат.
Следовательно, 
Найдем координаты точки P:
тогда 
Найдем расстояние от точки M до плоскости B1C1P:
Треугольник B1F1M — прямоугольный, по теореме Пифагора получаем:
Тогда по теореме Фалеса 
и 
По теореме Пифагора получаем:
Таким образом, 
что и требовалось доказать.
Проведем отрезок C1O, он равен 
Если мы докажем, что сумма отрезков C1I и IO равна длине отрезка C1O, то точка пересечения диагоналей четырехугольника будет действительно лежать на этом отрезке. 
диагональ трапеции 
по трем точкам, получим: 
следует, что 
и AMB, причём PT пересекает ОС1 именно в точке I, поскольку ТP и C1O — медианы треугольника С1TL, а значит, точкой пересечения делятся так же. Что и требовалось доказать.
вычислим:
Точка M — середина образующей SA конуса, а точки 
— прямой.
Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
