Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 525393

Дана пирамида SABC, в которой SC=SB= корень из 17, AB=AC= корень из 29, SA=BC=2 корень из 5 .

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.

Спрятать решение

Решение.

а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.

б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.

Заметим, что SN= корень из 17 минус 5= корень из 12, а AN= корень из 29 минус 5= корень из 24. Пусть точка М делит ребро SN на отрезки x и  корень из 12 минус x. Выразим квадрат катета из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:

 SA в квадрате минус SM в квадрате = AN в квадрате минус NM в квадрате равносильно левая круглая скобка 2 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате = корень из 24 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка корень из 12 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно 4 корень из 3 x = 8 равносильно x = дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби корень из 3 .

Тогда  косинус \widehatASM = дробь: числитель: SM, знаменатель: SA конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби корень из 3 , знаменатель: 2 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 15, откуда \widehatASM = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 15.

 

Ответ: б)  арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 525393: 526014 526216 Все

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства медиан