Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 526253

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость \omega.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \omega параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \omega, если известно, что SA=9, AB=6.

Спрятать решение

Решение.

а) Треугольники SNK и SBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, поэтому отрезок NK параллелен ВС. Поскольку прямая ВС параллельна лежащей в плоскости сечения прямой NK, она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть H — середина BC. Проведём SH и AH и пусть плоскость SHA пересекает \omegaпо прямой QR (см. рис.). Тогда QR и параллельны, а расстояние от точки B до плоскости \omega равно расстоянию от точки Н до плоскости \omega.

В треугольнике SHA имеем: SA=9, AH= корень из AC в квадрате минус CH в квадрате = корень из 27, SH= корень из SC в квадрате минус CH в квадрате = корень из 72. Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть AT = x, тогда ST = 9 минус x, тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем: HT в квадрате =AH в квадрате минус AT в квадрате = SH в квадрате минус ST в квадрате :

27 минус x в квадрате = 72 минус левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно 27 минус x в квадрате = минус 9 плюс 18x минус x в квадрате равносильно x= 2.

Тогда HT = корень из 27 минус 4= корень из 23.

По построению, отрезок НT перпендикулярен ребру SA. В силу параллельности SA и QR, отрезки НT и QR также перпендикулярны. Кроме того, ребро ВС перпендикулярно плоскости SHA по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и ВС перпендикулярно НT. Но ВС параллельно NK, поэтому НT и NK перпендикулярны. Тем самым, прямая НT перпендикулярна двум пересекающимся прямым NK и QR, лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения.

Треугольники SNK и SBC подобны с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , поэтому SQ:QH=1:2, а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или  дробь: числитель: 2 корень из 23, знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 2 корень из 23, знаменатель: конец дроби 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Раздел: Стереометрия
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019