В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра A1C1, а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани ABB1A1.
а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью AMB, лежит на отрезке OC1.
б) Найдите угол между прямой OC1, и плоскостью AMB.
а) Проведем AM, MN параллельно AB и NB. Таким образом, равнобедренная трапеция AMNB — искомое сечение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Точка I — точка пересечения диагоналей трапеции, точки P и T — середины верхнего и нижнего основания трапеции соответственно, точка L — середина A1B1, 
Проведем отрезок C1O, он равен 
Если мы докажем, что сумма отрезков C1I и IO равна длине отрезка C1O, то точка пересечения диагоналей четырехугольника будет действительно лежать на этом отрезке. 
диагональ трапеции 
В треугольнике TIO по теореме косинусов найдем IO.
В треугольнике INC1 найдем гипотенузу IC1. Она равна
Сложим отрезки IC1 и IO: 
б) Введем систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат имеем:
Составим уравнение плоскости 
по трем точкам, получим:
Тогда вектор нормали равен 
Найдем искомый угол как 
Таким образом, искомый угол равен 
Ответ: б)
Приведём решение Ирины Шраго.
а) Из треугольников MIN и BIA с коэффициентом подобия 
следует, что 
Прямая PT является линией пересечения 
и AMB, причём PT пересекает ОС1 именно в точке I, поскольку ТP и C1O — медианы треугольника С1TL, а значит, точкой пересечения делятся так же. Что и требовалось доказать.
б) Плоскость CC1L перпендикулярна сечению, поэтому 
вычислим:
Ответ: 