а)  Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. До­ка­жи­те, что все грани тет­ра­эд­ра ACB₁D₁  — рав­ные тре­уголь­ни­ки (тет­ра­эдр, об­ла­да­ю­щий таким свой­ством, на­зы­ва­ют рав­но­гран­ным).

б)  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те угол между плос­ко­стью A₁BC и пря­мой BC₁, если AA₁  =  8, AB  =  6, BC  =  15.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны рёбра: Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AS и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те что от­ре­зок MN де­лит­ся по­по­лам вы­со­той пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой MN.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, где AB  =  AC  =  5 и BC  =  8. Вы­со­та приз­мы равна 3.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник A₁BC ост­ро­уголь­ный.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой A₁B и плос­ко­стью BCC₁.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  4 и BC  =  3. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SC и плос­ко­стью ASB.

а)  Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. До­ка­жи­те, что все грани тет­ра­эд­ра ACB₁D₁  — рав­ные тре­уголь­ни­ки (тет­ра­эдр, об­ла­да­ю­щий таким свой­ством, на­зы­ва­ют рав­но­гран­ным).

б)  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AA₁  =  4, A₁D₁  =  6, C₁D₁  =  6, най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью ADD₁ и пря­мой EF, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AB и B₁C₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра SC  =  25. M  — се­ре­ди­на ребра SA.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ции точек S и M на плос­кость ос­но­ва­ния делят вы­со­ту AN тре­уголь­ни­ка ABC на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой MN.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  8. Вы­со­та приз­мы равна 3. Точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BA₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCC₁.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой A₁B и плос­ко­стью BCC₁.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны AB  =  2, AD  =  AA₁  =  1.

а)  Пусть B₁E  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BB₁C₁. До­ка­жи­те, что AE  — про­ек­ция AB₁ на плос­кость ABC₁.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой AB₁ и плос­ко­стью ABC₁.

а)  До­ка­жи­те, что в пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC, где S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, пря­мая SC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  AB.

б)  Пусть вы­со­та SO со­став­ля­ет от вы­со­ты SM бо­ко­вой грани SAB. Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды и её бо­ко­вым реб­ром.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что AC' пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BE.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой AC' и плос­ко­стью ACD'.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD М  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ция точки M на плос­кость BCD делит вы­со­ту DN тре­уголь­ни­ка BCD в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны D.

б)  Най­ди­те угол между ме­ди­а­ной BM грани ABD и плос­ко­стью BCD.

Длины всех ребер пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды PABCD с вер­ши­ной P равны между собой. Точка M  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды AP.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки B и M и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти BDP, делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды по­по­лам.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой BM и плос­ко­стью BDP.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ из­вест­ны рёбра: AB AA₁  =  4. Точка M  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁C и C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой C₁M и плос­ко­стью грани ABB₁A₁.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD лежит квад­рат ABCD. Про­ти­во­по­лож­ные бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Через се­ре­ди­ны рёбер MA и MB про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная ребру MC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на ребру MD.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и пря­мой AC.

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC. Точка K  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в от­но­ше­нии AM : MC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что KM пер­пен­ди­ку­ляр­но AC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABC, если AB  =  12, AC  =  16 и AA₁  =  6.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 2. Точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁, а точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей бо­ко­вой грани ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы  ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью AMB, лежит на от­рез­ке OC₁.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой OC₁, и плос­ко­стью AMB.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния На ребре  BC от­ме­че­на точка  M так, что BC : MC  =  3 : 1, а на ребре  AC от­ме­че­на точка  N так, что AN : NC  =  2 : 1. Точка  K  — се­ре­ди­на ребра  AB, точка  О  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OK па­рал­лель­на плос­ко­сти MNC₁.

б)  Найти угол между пря­мой OK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC₁ равна

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точка K  — центр грани ABD, точка M  — центр грани ACD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BC и KM па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABD.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с рав­ны­ми сто­ро­на­ми AB и BC. Точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер A₁B₁ и AC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что KM  =  KB.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABB₁, если AB  =  8, AC  =  6 и AA₁  =  3.

Ос­но­ва­ние ABCD приз­мы   — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AB  =  2CD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра

б)  Най­ди­те угол между бо­ко­вым реб­ром и этой плос­ко­стью, если приз­ма пря­мая, тра­пе­ция ABCD пря­мо­уголь­ная с пря­мым углом при вер­ши­не B, а BC  =  CD и

Точка M се­ре­ди­на ребра AB пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра DABC.

а)  До­ка­жи­те, что ор­то­го­наль­ная про­ек­ция точки M на плос­кость ACD лежит на ме­ди­а­не AP грани ACD.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой DM и плос­ко­стью ACD.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит ромб АВСD, сто­ро­на ко­то­ро­го равна 8, а угол при вер­ши­не A равен 60°. Из­вест­но, что SA  =  15, и, кроме того, SB  =  SD.

а)  До­ка­жи­те, что SC  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ASC и реб­ром SB.

На реб­рах BS и CS пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD cо сто­ро­ной ос­но­ва­ния AD  =  10 и бо­ко­вым реб­ром взяты точки K и M со­от­вет­ствен­но так, что

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и SC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плос­кость  DA₁C₁ пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль  BD₁ в точке  F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и AA₁, со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между пря­мой  MN и плос­ко­стью  DA₁C₁.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 4. Через точку A про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой DC₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой F₁D и плос­ко­стью α.

Точка O  — центр грани A₁B₁C₁D₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁. Се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стя­ми AOB и BOC яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ни­ка­ми, сто­ро­ны AB и BC этих се­че­ний в 3 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой A₁C и плос­ко­стью BOC.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны углы:

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те угол между пря­мой AC₁ и плос­ко­стью A₁B₁C₁, если β  =  60°, γ  =  45°.