Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 691278
i

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны углы: \angle C_1AA_1 = альфа , \angle C_1AB = бета , \angle C_1AD = гамма .

а)  До­ка­жи­те, что ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те гамма = 1.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой AC1 и плос­ко­стью A1B1C1, если β  =  60°, γ  =  45°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA1C1, ABC1, ADC1 со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: AA_1, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби ,

ко­си­нус \bets = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби ,

ко­си­нус гамма = дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби .

Квад­рат длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов длин трех его из­ме­ре­ний, по­это­му:

AC_1 в квад­ра­те = AA_1 в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те плюс AD в квад­ра­те рав­но­силь­но 1 = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AA_1, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс ко­си­нус в квад­ра­те гамма = 1.

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) на­хо­дим:

ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс ко­си­нус в квад­ра­те 60 гра­ду­сов плюс ко­си­нус в квад­ра­те 45 гра­ду­сов = 1 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 1 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \underset 0 гра­ду­сов мень­ше альфа мень­ше 90 гра­ду­сов \mathop рав­но­силь­но ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но альфа = 60 гра­ду­сов.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AC1A1 по­лу­ча­ем \angle AC_1A_1 = 30 гра­ду­сов. От­ре­зок A1C1 есть про­ек­ция диа­го­на­ли AC1 на плос­кость A1B1C1, сле­до­ва­тель­но, угол AC1A1  — ис­ко­мый.

 

Ответ: б)  30°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 517
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор стереометрии: Угол между пря­мой и плос­ко­стью, Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026