В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны 
и 
Значения этих сторон удовлетворяют равенству 
следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами 
Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству 
то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Из п а) 
Кроме того, 
следовательно, 
Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен
Ответ: 30°.
Примечание.
Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.
Примечание 2.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 637818.