Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
а) Рассмотрим проекцию B' вершины тетраэдра B на плоскость ACD. Тетраэдр правильный, поэтому точка B' является центром грани ACD и лежит на медиане AP. Следовательно, проекция ребра AB будет отрезок AB' — часть медианы AP. Точка M' — проекция точки M — является серединой отрезка AB' и делит медиану AP в отношении
б) Проекцией DM на грань ACD является DM', поэтому искомый угол равен углу MDM'. Найдем его из треугольника MDM'. Обозначим ребро тетраэдра 2a. Тогда
Найдем высоту тетраэдра:
Точка M — середина AB, поэтому MM' равна 
Найдем синус угла MDM':
следовательно, 
Ответ: б) 